Questo è un articolo su come fattorizzare un polinomio cubo. Esploreremo come scomporre in fattori utilizzando i raggruppamenti e utilizzando i fattori da termini indipendenti.
Fare un passo
Metodo 1 di 2: Factoring per raggruppamento
Passaggio 1. Raggruppare il polinomio in due parti
Raggruppare un polinomio in due metà ti consentirà di spezzare ciascuna parte separatamente.
Supponiamo di utilizzare un polinomio: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Diviso in (x3 + 3x2) e (- 6x - 18).
Passaggio 2. Trova i fattori che sono gli stessi in ogni sezione
- Da (x3 + 3x2), possiamo vedere che lo stesso fattore è x2.
- Da (- 6x - 18), possiamo vedere che il fattore uguale è -6.
Passaggio 3. Elimina i fattori uguali da entrambi i termini
- Elimina il fattore x2 dalla prima parte, otteniamo x2(x + 3).
- Prendendo il fattore -6 dalla seconda parte, otteniamo -6(x + 3).
Passaggio 4. Se ciascuno dei due termini ha lo stesso fattore, è possibile combinare i fattori insieme
Otterrai (x + 3)(x2 - 6).
Passaggio 5. Trova la risposta osservando le radici dell'equazione
Se hai x2 alle radici dell'equazione, ricorda che sia i numeri positivi che quelli negativi soddisferanno l'equazione.
Le risposte sono -3, 6 e -√6
Metodo 2 di 2: Factoring utilizzando termini gratuiti
Passaggio 1. Riorganizzare l'equazione nella forma aX3+bX2+cX+d.
Supponiamo di utilizzare un polinomio: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Passaggio 2. Trova tutti i fattori di "d"
La costante "d" è un numero che non ha variabili, come "x", accanto ad esso.
I fattori sono numeri che possono essere moltiplicati per ottenere un altro numero. In questo caso, i fattori di 10, che è "d", sono: 1, 2, 5 e 10
Passaggio 3. Trova un fattore che renda il polinomio uguale a zero
Dobbiamo determinare quali fattori rendono il polinomio uguale a zero quando sostituiamo fattori in ogni "x" nell'equazione.
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Inizia con il primo fattore, che è 1. Sostituisci "1" per ogni "x" nell'equazione:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Otterrai: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Poiché 0 = 0 è un'affermazione vera, sai che x = 1 è la risposta.
Passaggio 4. Eseguire alcune impostazioni
Se x = 1, puoi riorganizzare l'istruzione per farla sembrare leggermente diversa senza cambiarne il significato.
"x = 1" è uguale a "x - 1 = 0". Devi solo sottrarre per "1" da ciascun lato dell'equazione
Passaggio 5. Prendi il fattore radice dell'equazione dal resto dell'equazione
"(x - 1)" è la radice dell'equazione. Controlla se riesci a scomporre il resto dell'equazione. Estrarre i polinomi uno per uno.
- Puoi scomporre (x - 1) da x3? No. Ma puoi prendere in prestito -x2 della seconda variabile, quindi puoi fattorizzarla: x2(x - 1) = x3 - X2.
- Puoi fattorizzare (x - 1) dal resto della seconda variabile? No. Devi prendere in prestito un po' dalla terza variabile. Devi prendere in prestito 3x da -7x. Questo darà il risultato -3x(x - 1) = -3x2 + 3x.
- Dato che hai preso 3x da -7x, la terza variabile diventa -10x e la costante è 10. Puoi fattorizzarla? Sì! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Quello che fai è impostare la variabile in modo da poter scomporre (x - 1) dall'intera equazione. Riorganizzi l'equazione in qualcosa del genere: x3 - X2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, ma l'equazione è ancora uguale a x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Passaggio 6. Continuare a sostituire con fattori del termine indipendente
Guarda il numero che hai fattorizzato usando (x - 1) nel passaggio 5:
- X2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Puoi riorganizzarlo per rendere più semplice il fattore ancora una volta: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- Qui, devi solo fattorizzare (x2 - 3x - 10). Il risultato del factoring è (x + 2)(x - 5).
Passaggio 7. La tua risposta sono le radici fattorizzate dell'equazione
Puoi verificare se la tua risposta è corretta inserendo ciascuna risposta, separatamente, nell'equazione originale.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. Questo darà le risposte 1, -2 e 5.
- Inserisci -2 nell'equazione: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Inserisci 5 nell'equazione: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Suggerimenti
- Non esiste un polinomio cubo che non possa essere scomposto utilizzando numeri reali perché ogni cubo ha sempre una radice reale. Un polinomio cubo come x3 + x + 1 che ha una radice reale irrazionale non può essere scomposto in un polinomio con coefficienti interi o razionali. Sebbene possa essere scomposto in fattori dalla formula del cubo, non può essere ridotto come un polinomio intero.
- Un polinomio cubo è il prodotto di tre polinomi per la potenza di uno o il prodotto di un polinomio per la potenza di uno e un polinomio per la potenza di due non scomponibile. Per situazioni come quest'ultima, usi una divisione lunga dopo aver trovato il primo polinomio di potenza per ottenere il secondo polinomio di potenza.
