Ogni funzione ha due variabili, vale a dire la variabile indipendente e la variabile dipendente. Letteralmente il valore della variabile dipendente "dipende" dalla variabile indipendente. Ad esempio, nella funzione y = f(x) = 2 x + y, x è la variabile indipendente e y è la variabile dipendente (in altre parole, y è una funzione di x). I valori validi per la variabile nota x sono chiamati "domini di origine". I valori validi per la variabile y nota sono chiamati "intervallo di risultati".
Fare un passo
Parte 1 di 3: trovare il dominio di una funzione
Passaggio 1. Decidi quale tipo di funzione eseguirai
Il dominio della funzione è tutti i valori x (asse orizzontale) che restituiranno valori y validi. L'equazione della funzione può essere una quadratica, una frazione o contenere una radice. Per calcolare il dominio della funzione, la prima cosa che devi fare è esaminare le variabili nell'equazione.
- Una funzione quadratica ha la forma ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4
- Esempi di funzioni con frazioni includono: f(x) = (1/X), f(x) = (x+1)/(x - 1), e altri.
- Le funzioni che hanno radici includono: f(x) = x, f(x) = (x2 + 1), f(x) = -x e così via.
Passaggio 2. Annota il dominio con la notazione corretta
La scrittura del dominio di una funzione implica l'uso di parentesi quadre [,] e parentesi (,). Utilizzare le parentesi quadre [,] se il numero appartiene al dominio e utilizzare le parentesi quadre (,) se il dominio non include il numero. La lettera U denota un'unione che collega parti del dominio che possono essere separate da una distanza.
- Ad esempio, il dominio di [-2, 10) U (10, 2] include -2 e 2, ma non include il numero 10.
- Usa sempre le parentesi () se stai usando il simbolo dell'infinito,.
Passaggio 3. Disegna un grafico dell'equazione quadratica
Le equazioni quadratiche producono un grafico parabolico che si apre verso l'alto o verso il basso. Considerando che la parabola continuerà all'infinito sull'asse x, il dominio della maggior parte delle equazioni quadratiche è costituito da tutti i numeri reali. In altre parole, un'equazione quadratica include tutti i valori x sulla linea dei numeri, dando il dominio R (simbolo per tutti i numeri reali).
- Per risolvere la funzione, scegli un valore x qualsiasi e inseriscilo nella funzione. Risolvere una funzione con un valore x restituirà un valore y. I valori di x e y sono le coordinate (x, y) di un grafico della funzione.
- Traccia queste coordinate su un grafico e ripeti il processo con un altro valore x.
- Tracciare alcuni dei valori in questo modello ti darà una panoramica della forma della funzione quadratica.
Passaggio 4. Se l'equazione della funzione è una frazione, rendere il denominatore uguale a zero
Quando lavori con le frazioni, non puoi mai dividere per zero. Rendendo il denominatore uguale a zero e trovando il valore di x, puoi calcolare i valori da estrarre dalla funzione.
- Ad esempio: Determinare il dominio della funzione f(x) = (x+1)/(x - 1).
- Il denominatore della funzione è (x - 1).
- Rendi il denominatore uguale a zero e calcola il valore di x: x – 1 = 0, x = 1.
- Annota il dominio: Il dominio della funzione non include 1, ma include tutti i numeri reali tranne 1; quindi, il dominio è (-∞, 1) U(1,).
- (-∞, 1) U (1,) può essere letto come una raccolta di tutti i numeri reali tranne 1. Il simbolo dell'infinito,, rappresenta tutti i numeri reali. In questo caso, tutti i numeri reali maggiori di 1 e minori di 1 sono inclusi nel dominio.
Passaggio 5. Se l'equazione è una funzione radice, rendere le variabili radice maggiori o uguali a zero
Non puoi usare la radice quadrata di un numero negativo; pertanto, qualsiasi valore x che porta a un numero negativo deve essere rimosso dal dominio della funzione.
- Ad esempio: Trova il dominio della funzione f(x) = (x + 3).
- Le variabili nella radice sono (x + 3).
- Rendi il valore maggiore o uguale a zero: (x + 3) 0.
- Calcola il valore di x: x -3. Risolvi per x: x -3.
- Il dominio della funzione include tutti i numeri reali maggiori o uguali a -3; quindi, il dominio è [-3,).
Parte 2 di 3: trovare l'intervallo di un'equazione quadratica
Passaggio 1. Assicurati di avere una funzione quadratica
La funzione quadratica ha la forma ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4. Il grafico della funzione quadratica è una parabola che si apre in alto o in basso. Esistono diversi modi per calcolare l'intervallo della funzione a seconda del tipo di funzione su cui si sta lavorando.
Il modo più semplice per determinare l'intervallo di altre funzioni, come una funzione radice o una funzione frazione, consiste nel rappresentare graficamente la funzione utilizzando una calcolatrice grafica
Passaggio 2. Trova il valore x del vertice della funzione
Il vertice di una funzione quadratica è il vertice della parabola. Ricorda, la forma della funzione quadratica è ax2 + bx + c. Per trovare la coordinata x usa l'equazione x = -b/2a. L'equazione è una derivata di una funzione quadratica di base che rappresenta un'equazione con pendenza/pendenza zero (al vertice del grafico, il gradiente della funzione è zero).
- Ad esempio, trova l'intervallo di 3x2 + 6x -2.
- Calcola la coordinata x del vertice: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Passaggio 3. Calcola il valore y del vertice della funzione
Inserisci la coordinata x nella funzione per calcolare il corrispondente valore y del vertice. Questo valore y indica il limite dell'intervallo della funzione.
- Calcola la coordinata y: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Il vertice di questa funzione è (-1, -5).
Passaggio 4. Determinare la direzione della parabola inserendo almeno un altro valore x
Scegli un altro valore x e inseriscilo nella funzione per calcolare il valore y appropriato. Se il valore y è sopra il vertice, la parabola continua a +∞. Se il valore y è al di sotto del vertice, la parabola continuerà a -∞.
- Usa il valore x -2: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Questo calcolo restituisce le coordinate (-2, -2).
- Queste coordinate mostrano che la parabola continua sopra il vertice (-1, -5); pertanto, l'intervallo include tutti i valori y superiori a -5.
- L'intervallo di questa funzione è [-5,).
Passaggio 5. Annotare l'intervallo con la notazione corretta
Come i domini, gli intervalli sono scritti con la stessa notazione. Utilizzare le parentesi quadre [,] se il numero è compreso nell'intervallo e utilizzare le parentesi quadre (,) se l'intervallo non include il numero. La lettera U indica un'unione che collega parti dell'intervallo che possono essere separate da una distanza.
- Ad esempio, l'intervallo di [-2, 10) U (10, 2] include -2 e 2, ma non include il numero 10.
- Usa sempre le parentesi se usi il simbolo dell'infinito,.
Parte 3 di 3: trovare l'intervallo dal grafico di una funzione
Passaggio 1. Disegna la funzione
Spesso, il modo più semplice per determinare l'intervallo di una funzione è rappresentarlo graficamente. Molte funzioni radice hanno un intervallo (-∞, 0] o [0, +∞) perché il vertice della parabola orizzontale (parabola laterale) è sull'asse x orizzontale. In questo caso, la funzione include tutti i valori y positivi se la parabola si apre, o tutti i valori y negativi se la parabola si apre verso il basso. Le funzioni frazionarie avranno asintoti (linee che non sono mai tagliate da una linea retta/curva ma si avvicinano all'infinito) che definiscono l'intervallo della funzione.
- Alcune funzioni radice inizieranno sopra o sotto l'asse x. In questo caso, l'intervallo è determinato dal numero in cui inizia la funzione radice. Se la parabola inizia in y = -4 e sale, l'intervallo è [-4, +∞).
- Il modo più semplice per disegnare una funzione è utilizzare un programma grafico o una calcolatrice grafica.
- Se non hai una calcolatrice grafica, puoi disegnare uno schizzo approssimativo del grafico inserendo il valore x nella funzione e ottenendo il valore y appropriato. Traccia queste coordinate su un grafico per avere un'idea di come appare il grafico.
Passaggio 2. Trova il valore minimo della funzione
Immediatamente dopo aver disegnato la funzione, dovresti essere in grado di vedere chiaramente il punto più basso del grafico. Se non esiste un valore minimo chiaro, sappi che alcune funzioni continueranno a -∞ (infinito).
Una funzione frazione includerà tutti i punti tranne quelli sugli asintoti. La funzione ha un intervallo come (-∞, 6) U (6,)
Passaggio 3. Determinare il valore massimo della funzione
Anche in questo caso, dopo aver disegnato il grafico, dovresti essere in grado di identificare il punto massimo della funzione. Alcune funzioni continueranno a +∞ e quindi non avranno un valore minimo.
Passaggio 4. Scrivi l'intervallo con la notazione corretta
Come i domini, gli intervalli sono scritti con la stessa notazione. Utilizzare le parentesi quadre [,] se il numero è compreso nell'intervallo e utilizzare le parentesi quadre (,) se l'intervallo non include il numero. La lettera U indica un'unione che collega parti dell'intervallo che possono essere separate da una distanza.
- Ad esempio, l'intervallo di [-2, 10) U (10, 2] include -2 e 2, ma non include il numero 10.
- Usa sempre le parentesi se usi il simbolo dell'infinito,.
