Come derivare funzioni implicite: 7 passaggi (con immagini)

2024 Autore: Jason Gerald | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-19 22:13

In calcolo, quando hai un'equazione per y scritta nella forma x (es. y = x² -3x), è facile usare tecniche di derivazione di base (indicate dai matematici come tecniche di derivazione di funzioni implicite) per trovare la derivata. Tuttavia, per equazioni difficili da costruire con solo il termine y su un lato del segno di uguale (ad esempio x² + si² - 5x + 8y + 2xy² = 19), è necessario un approccio diverso. Con una tecnica chiamata derivate di funzioni implicite, è facile trovare derivate di equazioni a più variabili purché si conoscano le basi delle derivate di funzioni esplicite!

Fare un passo

Metodo 1 di 2: derivazione rapida di equazioni semplici

Passaggio 1. Ricavare i termini x come al solito

Quando si cerca di derivare un'equazione multivariabile come x² + si² - 5x + 8y + 2xy² = 19, può essere difficile sapere da dove cominciare. Fortunatamente, il primo passo della derivata di una funzione implicita è il più semplice. Basta derivare i termini x e le costanti su entrambi i lati dell'equazione secondo le regole delle derivate ordinarie (esplicite) per cominciare. Ignora i termini y per il momento.

• Proviamo a ricavare un esempio dalla semplice equazione sopra. X² + si² - 5x + 8y + 2xy² = 19 ha due termini x: x² e -5x. Se vogliamo derivare un'equazione, dobbiamo prima farlo, in questo modo:

  X² + si² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Riduci alla potenza di 2 in x² come coefficiente, rimuovi x in -5x e cambia 19 in 0)

  2x + y² - 5 + 8 anni + 2 anni² = 0

Passaggio 2. Ricavare i termini y e aggiungere (dy/dx) accanto a ciascun termine

Per il prossimo passaggio, deriva semplicemente i termini y nello stesso modo in cui hai derivato i termini x. Questa volta, tuttavia, aggiungi (dy/dx) accanto a ciascun termine come aggiungeresti i coefficienti. Ad esempio, se abbassi y², allora la derivata diventa 2y(dy/dx). Ignora i termini che hanno x e y per il momento.

• Nel nostro esempio, la nostra equazione ora ha questo aspetto: 2x + y² - 5 + 8 anni + 2 anni² = 0. Eseguiremo il passaggio successivo per derivare y come segue:

  2x + y² - 5 + 8 anni + 2 anni² = 0

  (Riduci alla potenza di 2 in y² come coefficienti, rimuovi y in 8y e metti dy/dx accanto a ciascun termine).

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

Passaggio 3. Utilizzare la regola del prodotto o la regola del quoziente per i termini con x e y

Lavorare con termini che hanno x e y è un po' complicato, ma se conosci le regole per il prodotto e il quoziente per i derivati, lo troverai facile. Se i termini x e y vengono moltiplicati, utilizzare la regola del prodotto ((f × g)' = f' × g + g × f'), sostituendo il termine x per f e il termine y per g. D'altra parte, se i termini x e y si escludono a vicenda, utilizzare la regola del quoziente ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), sostituendo al numeratore f e al denominatore g.

• Nel nostro esempio, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, abbiamo un solo termine che ha x e y - 2xy². Poiché x e y vengono moltiplicati tra loro, utilizzeremo la regola del prodotto per derivare come segue:

  2xy² = (2x)(y²)- imposta 2x = f e y² = g in (f × g)' = f' × g + g × f'

  (f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx))

  (f × g)' = 2 anni² + 4xy(dy/dx)

• Aggiungendo questo alla nostra equazione principale, otteniamo 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

Passaggio 4. Da solo (dy/dx)

Hai quasi finito! Ora, tutto ciò che devi fare è risolvere l'equazione (dy/dx). Questo sembra difficile, ma di solito non lo è: ricorda che due termini a e b moltiplicati per (dy/dx) possono essere scritti come (a + b) (dy/dx) a causa della proprietà distributiva della moltiplicazione. Questa tattica può rendere più semplice l'isolamento (dy/dx): sposta tutti gli altri termini dall'altra parte delle parentesi, quindi dividi per i termini tra parentesi accanto a (dy/dx).

• Nel nostro esempio semplifichiamo 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 come segue:

  2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2a + 8 + 4x)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

Metodo 2 di 2: utilizzo di tecniche avanzate

Passaggio 1. Immettere il valore (x, y) da trovare (dy/dx) per qualsiasi punto

Sicuro! Hai già derivato implicitamente la tua equazione - non è un lavoro facile al primo tentativo! Usare questa equazione per trovare il gradiente (dy/dx) per qualsiasi punto (x, y) è facile come collegare i valori x e y per il tuo punto al lato destro dell'equazione, quindi trovare (dy/dx).

• Ad esempio, supponiamo di voler trovare il gradiente nel punto (3, -4) per la nostra equazione di esempio sopra. Per fare ciò, sostituiremo 3 per x e -4 per y, risolvendo come segue:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))

  (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, o 0, 6875.

Passaggio 2. Utilizzare la regola della catena per le funzioni all'interno delle funzioni

La regola della catena è un'importante conoscenza da avere quando si lavora su problemi di calcolo (inclusi problemi di derivate di funzioni implicite). La regola della catena afferma che per una funzione F(x) che può essere scritta come (f o g)(x), la derivata di F(x) è uguale a f'(g(x))g'(x). Per problemi di derivazione di funzioni implicite difficili, ciò significa che è possibile derivare le diverse singole parti dell'equazione e quindi combinare i risultati.

• Come semplice esempio, supponiamo di dover trovare la derivata di sin(3x² + x) come parte del più grande problema della derivata della funzione implicita per l'equazione sin(3x² +x) + y³ = 0. Se immaginiamo sin(3x² + x) come f(x) e 3x² + x come g(x), possiamo trovare la derivata come segue:

  f'(g(x))g'(x)

  (peccato (3x² + x))' × (3x² +x)'

  cos(3x² +x) × (6x + 1)

  (6x + 1)cos(3x² +x)

Passaggio 3. Per le equazioni con le variabili x, yez, trovare (dz/dx) e (dz/dy)

Sebbene inusuali nel calcolo di base, alcune applicazioni avanzate possono richiedere la derivazione di funzioni implicite di più di due variabili. Per ogni variabile aggiuntiva, devi trovare la sua derivata aggiuntiva rispetto a x. Ad esempio, se hai x, yez, dovresti cercare sia (dz/dy) che (dz/dx). Possiamo farlo derivando l'equazione rispetto a x due volte - primo, inseriremo (dz/dx) ogni volta che deriviamo un termine contenente z, e secondo, inseriremo (dz/dy) ogni volta che deriviamo z. Dopo questo, è solo questione di risolvere (dz/dx) e (dz/dy).

• Ad esempio, diciamo che stiamo cercando di derivare x³z² - 5xy⁵z = x² + si³.

• Per prima cosa, deriviamo da x e inseriamo (dz/dx). Non dimenticare di applicare la regola del prodotto se necessario!

  X³z² - 5xy⁵z = x² + si³

  3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) - 5 anni⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 anni⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 anni⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Ora, fai lo stesso per (dz/dy)

  X³z² - 5xy⁵z = x² + si³

  2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)