Il raggruppamento è una tecnica speciale utilizzata per fattorizzare le equazioni polinomiali. Puoi usarlo con equazioni quadratiche e polinomi che hanno quattro termini. I due metodi sono quasi uguali, ma leggermente diversi.
Fare un passo
Metodo 1 di 2: Equazione quadratica
Passaggio 1. Guarda l'equazione
Se prevedi di utilizzare questo metodo, l'equazione deve seguire la forma base: ax2 + bx + c
- Questo processo viene solitamente utilizzato quando il coefficiente principale (un termine) è un numero diverso da "1", ma può essere utilizzato anche per equazioni quadratiche dove a = 1.
- Esempio: 2x2 + 9x + 10
Passaggio 2. Trova il prodotto principale di
Moltiplica i termini a e c. Il prodotto di questi due termini è detto prodotto principale.
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Esempio: 2x2 + 9x + 10
- a = 2; c = 10
- a * c = 2 * 10 = 20
Passaggio 3. Separare il prodotto nelle sue coppie di fattori
Annota i fattori del tuo prodotto principale separandoli in coppie di numeri interi (le coppie necessarie per ottenere il prodotto principale).
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Esempio: I fattori di 20 sono: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Scritto in coppie di fattori: (1, 20), (2, 10), (4, 5)
Passaggio 4. Trova una coppia di fattori con una somma uguale a b
Guarda nelle coppie di fattori e determina la coppia che darà il termine b - il termine mediano e il coefficiente x - quando sommati.
- Se il tuo prodotto principale è negativo, dovrai trovare una coppia di fattori che eguagliano il termine b quando vengono sottratti l'uno dall'altro.
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Esempio: 2x2 + 9x + 10
- b = 9
- 1 + 20 = 21; questa non è la coppia giusta
- 2 + 10 = 12; questa non è la coppia giusta
- 4 + 5 = 9; questo è vero partner
Passaggio 5. Dividi il termine medio in due fattori
Riscrivi il termine medio separandolo nelle coppie di fattori che sono state precedentemente cercate. Assicurati di inserire il segno corretto (più o meno).
- Nota che l'ordine dei termini medi non è importante per questo problema. Indipendentemente dall'ordine dei termini che scrivi, il risultato sarà lo stesso.
- Esempio: 2x2 + 9x + 10 = 2x2 + 5x + 4x + 10
Passaggio 6. Raggruppa le tribù per formare coppie
Raggruppa i primi due termini in una coppia e i secondi due termini in una coppia.
Esempio: 2x2 + 5x + 4x + 10 = (2x2 + 5x) + (4x + 10)
Passaggio 7. Fattorizzare ogni coppia
Trova i fattori comuni della coppia e scomponili. Riscrivi l'equazione correttamente.
Esempio: x(2x + 5) + 2(2x + 5)
Passaggio 8. Scomponi le parentesi uguali
Dovrebbero esserci le stesse parentesi binomiali tra le due metà. Scomponi queste parentesi e inserisci gli altri termini all'interno delle altre parentesi.
Esempio: (2x + 5)(x + 2)
Passaggio 9. Annota le tue risposte
Ora hai la tua risposta.
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Esempio: 2x2 + 9x + 10 = (2x + 5)(x + 2)
La risposta finale è: (2x + 5)(x + 2)
Esempi aggiuntivi
Passaggio 1. Fattore:
4x2 - 3x - 10
- a * c = 4 * -10 = -40
- Fattori di 40: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
- La corretta coppia di fattori: (5, 8); 5 - 8 = -3
- 4x2 - 8x + 5x - 10
- (4x2 - 8x) + (5x - 10)
- 4x(x - 2) + 5(x - 2)
- (x - 2)(4x + 5)
Passaggio 2. Fattore:
8x2 + 2x - 3
- a * c = 8 * -3 = -24
- Fattore di 24: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
- La coppia di fattori corretta: (4, 6); 6 - 4 = 2
- 8x2 + 6x - 4x - 3
- (8x2 + 6x) - (4x + 3)
- 2x(4x + 3) - 1(4x + 3)
- (4x + 3)(2x - 1)
Metodo 2 di 2: Polinomi con quattro termini
Passaggio 1. Guarda l'equazione
L'equazione dovrebbe avere quattro termini separati. Tuttavia, la forma delle quattro tribù può variare.
- Di solito, utilizzerai questo metodo se vedi un'equazione polinomiale del tipo: ax3 + bx2 + cx + d
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L'equazione può anche essere simile a:
- axy + per + cx + d
- ascia2 + bx + cxy + dy
- ascia4 + bx3 + cx2 + dx
- O quasi la stessa variazione.
- Esempio: 4x4 + 12x3 + 6x2 + 18x
Passaggio 2. Scomponi il fattore comune più grande (GCF)
Determina se i quattro termini hanno qualcosa in comune. Il massimo comun divisore dei quattro termini, se uno qualsiasi dei fattori è comune, deve essere scomposto nell'equazione.
- Se l'unica cosa che i quattro termini hanno in comune è il numero "1", allora quel termine non ha GCF e nulla può essere scomposto in questo passaggio.
- Quando scomponi il GCF, assicurati di continuare a scrivere il GCF all'inizio dell'equazione mentre lavori. Questo GCF scomposto deve essere incluso come parte della tua risposta finale affinché la tua risposta sia accurata.
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Esempio: 4x4 + 12x3 + 6x2 + 18x
- Ogni termine è uguale a 2x, quindi questo problema può essere riscritto come:
- 2x(2x3 + 6x2 +3x+9)
Passaggio 3. Crea gruppi più piccoli nel problema
Raggruppa i primi due termini e i secondi due termini.
- Se il primo termine del secondo gruppo ha un segno meno davanti, devi mettere il segno meno davanti alla seconda parentesi. Devi cambiare il segno del secondo termine nel secondo gruppo per farlo corrispondere.
- Esempio: 2x(2x3 + 6x2 + 3x + 9) = 2x[(2x3 + 6x2) + (3x + 9)]
Passaggio 4. Estrarre il GCF da ciascun binomio
Identificare il GCF in ogni coppia binomiale e fattorizzare il GCF come esterno alla coppia. Riscrivi questa equazione correttamente.
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A questo punto, potresti trovarti di fronte alla scelta tra la scomposizione di numeri positivi o negativi per il secondo gruppo. Guarda i segni prima del secondo e del quarto termine.
- Quando entrambi i segni sono uguali (entrambi positivi o entrambi negativi), scomponi un numero positivo.
- Quando i due segni sono diversi (uno negativo e uno positivo), scomponi un numero negativo.
- Esempio: 2x[(2x3 + 6x2) + (3x + 9)] = 2x2[2x2(x + 3) + 3(x + 3)]
Passaggio 5. Scomponi lo stesso binomio
Le coppie binomiali in entrambe le parentesi devono essere le stesse. Scomponi questa coppia fuori dall'equazione, quindi raggruppa i termini rimanenti in altre parentesi.
- Se i binomi tra parentesi non corrispondono, ricontrolla il tuo lavoro o prova a riordinare i termini e raggruppare l'equazione.
- Tutte le parentesi devono essere uguali. Se non sono gli stessi, il problema non verrà preso in considerazione dal raggruppamento o da altri metodi anche se si prova qualsiasi metodo.
- Esempio: 2x2[2x2(x + 3) + 3(x + 3)] = 2x2[(x + 3)(2x2 + 3)]
Passaggio 6. Annota le tue risposte
Avrai la tua risposta in questo passaggio.
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Esempio: 4x4 + 12x3 + 6x2 + 18x = 2x2(x + 3)(2x2 + 3)
La risposta finale è: 2x2(x + 3)(2x2 + 3)
Esempi aggiuntivi
Passaggio 1. Fattore:
6x2 + 2xy - 24x - 8y
- 2[3x2 +xy - 12x - 4y]
- 2[(3x2 +xy) - (12x + 4y)]
- 2[x(3x + y) - 4(3x + y)]
- 2[(3x + y)(x - 4)]
- 2(3x + y)(x – 4)
Passaggio 2. Fattore:
X3 - 2x2 + 5x - 10
- (X3 - 2x2) + (5x - 10)
- X2(x - 2) + 5(x - 2)
- (x - 2)(x2 + 5)
