In matematica, factoring è un modo per trovare numeri o espressioni che, moltiplicati, produrranno un dato numero o equazione. Il factoring è un'abilità utile per imparare a risolvere semplici problemi di algebra; la capacità di fattorizzare bene, diventa importante quando si ha a che fare con equazioni quadratiche e altre forme di polinomi. Il factoring può essere utilizzato per semplificare le espressioni algebriche per renderne più facili le soluzioni. Il factoring può anche darti la possibilità di eliminare alcune possibili risposte, molto più velocemente che risolverle manualmente.
Fare un passo
Metodo 1 di 3: fattorizzazione di numeri ed espressioni algebriche semplici
Passaggio 1. Comprendere la definizione di fattorizzazione applicata a singoli numeri
Il factoring è un concetto semplice, ma in pratica può essere difficile se applicato a equazioni complesse. Pertanto, è più facile avvicinarsi al concetto di fattorizzazione partendo da numeri semplici, quindi procedendo a semplici equazioni, prima di passare infine ad applicazioni più complesse. I fattori di un numero sono numeri che moltiplicati producono il numero. Ad esempio, i fattori di 12 sono 1, 12, 2, 6, 3 e 4, perché 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4 sono uguali a 12.
- Un altro modo di pensarlo è che i fattori di un numero sono numeri che possono dividersi equamente nel numero.
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Riesci a trovare tutti i fattori del numero 60? Usiamo il numero 60 per vari scopi (minuti in un'ora, secondi in un minuto, ecc.) perché può essere divisibile per molti altri numeri.
I fattori di 60 sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60
Passaggio 2. Comprendere che anche le espressioni variabili possono essere fattorizzate
Proprio come i numeri stessi possono essere fattorizzati, anche le variabili con coefficienti numerici possono essere fattorizzati. Per fare ciò, basta trovare i fattori dei coefficienti variabili. Saper scomporre in fattori una variabile è molto utile per semplificare le equazioni algebriche che coinvolgono quella variabile.
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Ad esempio, la variabile 12x può essere scritta come il prodotto dei fattori 12 e x. Possiamo scrivere 12x come 3(4x), 2(6x), ecc., usando qualsiasi fattore di 12 che funzioni meglio per i nostri scopi.
Possiamo anche fattorizzare 12 volte più volte. In altre parole, non dobbiamo fermarci a 3(4x) o 2(6x): possiamo fattorizzare 4x e 6x per produrre 3(2(2x) e 2(3(2x). Naturalmente, queste due espressioni sono equivalenti
Passaggio 3. Applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione alle equazioni algebriche dei fattori
Usando la tua conoscenza di come fattorizzare sia numeri singoli che variabili con coefficienti, puoi semplificare semplici equazioni algebriche trovando i fattori che numeri e variabili condividono nelle equazioni algebriche. Di solito, per semplificare un'equazione, cerchiamo di trovare il massimo comun divisore. Questo processo di semplificazione è possibile grazie alla proprietà distributiva della moltiplicazione, che si applica a qualsiasi numero a, b e c. a(b + c) = ab + ac.
- Proviamo una domanda di esempio. Per fattorizzare l'equazione algebrica 12x + 6, per prima cosa, proviamo a trovare il massimo comun divisore di 12x e 6. 6 è il numero più grande che può dividere equamente 12x e 6, quindi possiamo semplificare l'equazione a 6(2x + 1).
- Questo processo si applica anche alle equazioni con numeri e frazioni negativi. Ad esempio, x/2 + 4, può essere semplificato in 1/2(x + 8) e -7x + -21 può essere scomposto in -7(x + 3).
Metodo 2 di 3: fattorizzazione delle equazioni quadratiche
Passaggio 1. Assicurati che l'equazione sia in forma quadratica (ax2 + bx + c = 0).
Le equazioni quadratiche hanno la forma ax2 + bx + c = 0, dove a, b e c sono costanti numeriche e non uguali a 0 (nota che a può essere uguale a 1 o -1). Se hai un'equazione che ha una variabile (x) che ha un termine x alla potenza di due o più, di solito sposti questi termini nell'equazione usando semplici operazioni algebriche per ottenere 0 su entrambi i lati del segno di uguale e ax2, eccetera. Dall'altro lato.
- Ad esempio, pensiamo a un'equazione algebrica. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 può essere semplificato in x2 + 6x + 9 = 0, che è la forma quadrata.
- Equazioni con la potenza maggiore di x, come x3, X4, eccetera. non sono equazioni quadratiche. Queste equazioni sono equazioni cubiche, alla quarta potenza, e così via, a meno che l'equazione non possa essere semplificata per rimuovere questi termini x con potenze maggiori di 2.
Passaggio 2. In un'equazione quadratica, dove a = 1, scomponi in (x+d)(x+e), dove d × e = c e d + e = b
Se la tua equazione quadratica è nella forma x2 + bx + c = 0 (in altre parole, se il coefficiente del termine x2 = 1), è possibile (ma non è garantito) che sia possibile utilizzare un metodo stenografico abbastanza semplice per fattorizzare l'equazione. Trova due numeri che moltiplicati danno c e sommati per produrre b. Dopo aver cercato questi due numeri d ed e, inseriscili nella seguente espressione: (x+d)(x+e). Questi due termini, se moltiplicati, ti danno la tua equazione quadratica - in altre parole, sono i fattori della tua equazione quadratica.
- Ad esempio, pensiamo all'equazione quadratica x2 + 5x + 6 = 0. 3 e 2 vengono moltiplicati per ottenere 6 e aggiunti anche per ottenere 5, quindi possiamo semplificare questa equazione in (x + 3) (x + 2).
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La leggera differenza in questo metodo di stenografia di base risiede nelle differenze nelle somiglianze stesse:
- Se l'equazione quadratica è nella forma x2-bx+c, la tua risposta è in questa forma: (x - _)(x - _).
- Se l'equazione è nella forma x2+bx+c, la tua risposta è simile a questa: (x + _)(x + _).
- Se l'equazione è nella forma x2-bx-c, la tua risposta è nella forma (x + _)(x - _).
- Nota: i numeri negli spazi vuoti possono essere frazioni o decimali. Ad esempio, l'equazione x2 + (21/2)x + 5 = 0 viene scomposto in (x + 10)(x + 1/2).
Passaggio 3. Se possibile, fattorizzare i controlli
Che ci crediate o no, per equazioni quadratiche semplici, uno dei metodi di fattorizzazione consentiti è esaminare il problema, quindi considerare le possibili risposte fino a trovare la risposta corretta. Questo metodo è noto anche come factoring attraverso l'esame. Se l'equazione è nella forma ax2+bx+c e a>1, il tuo fattore di risposta è nella forma (dx +/- _)(ex +/- _), dove d ed e sono costanti di numeri diversi da zero che moltiplicati danno a. Né d né e (o entrambi) possono essere 1, sebbene non debba essere necessariamente. Se entrambi sono 1, stai fondamentalmente usando il metodo di stenografia descritto sopra.
Pensiamo a un problema di esempio. 3x2 - 8x + 4 all'inizio sembra difficile. Tuttavia, una volta che ci rendiamo conto che 3 ha solo due fattori (3 e 1), questa equazione diventa più semplice perché sappiamo che la nostra risposta deve essere della forma (3x +/- _)(x +/- _). In questo caso, aggiungendo -2 a entrambi gli spazi si ottiene la risposta corretta. -2 × 3x = -6x e -2 × x = -2x. -6x e -2x sommano fino a -8x. -2 × -2 = 4, quindi possiamo vedere che i termini scomposti tra parentesi quando moltiplicati producono l'equazione originale.
Passaggio 4. Risolvi completando il quadrato
In alcuni casi, le equazioni quadratiche possono essere fattorizzate rapidamente e facilmente utilizzando identità algebriche speciali. Qualsiasi equazione quadratica nella forma x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Quindi se nella tua equazione il tuo valore b è il doppio della radice quadrata del tuo valore c, la tua equazione può essere scomposta in (x + (root(c)))2.
Ad esempio, l'equazione x2 +6x+9 ha questa forma. 32 è 9 e 3 × 2 è 6. Quindi, sappiamo che la forma fattoriale di questa equazione è (x + 3)(x + 3), o (x + 3)2.
Passaggio 5. Utilizzare i fattori per risolvere equazioni di secondo grado
Indipendentemente da come hai fattorizzato la tua equazione quadratica, una volta che l'equazione è stata fattorizzata, puoi trovare le possibili risposte al valore di x rendendo ogni fattore uguale a zero e risolvendoli. Poiché stai cercando il valore di x che rende la tua equazione uguale a zero, il valore di x che rende qualsiasi fattore uguale a zero è una possibile risposta alla tua equazione quadratica.
Torniamo all'equazione x2 + 5x + 6 = 0. Questa equazione viene scomposta in (x + 3)(x + 2) = 0. Se uno dei due fattori è uguale a 0, tutte le equazioni sono uguali a 0, quindi le nostre possibili risposte per x sono numeri, un numero che fa (x + 3) e (x + 2) sono uguali a 0. Questi numeri sono rispettivamente -3 e -2.
Passaggio 6. Controlla le tue risposte: alcune potrebbero essere fuorvianti
Quando trovi possibili risposte per x, ricollegale all'equazione originale per vedere se la risposta è corretta. A volte, le risposte che trovi non rendono l'equazione originale uguale a zero quando vengono reinserite. Chiamiamo questa risposta deviante e la ignoriamo.
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Mettiamo -2 e -3 in x2 + 5x + 6 = 0. Primo, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Questa risposta è corretta, quindi -2 è la risposta corretta.
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Ora proviamo -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Anche questa risposta è corretta, quindi -3 è la risposta corretta.
Metodo 3 di 3: fattorizzazione di altre equazioni
Passaggio 1. Se l'equazione è espressa nella forma a2-B2, fattore in (a+b)(a-b).
Le equazioni con due variabili hanno fattori diversi rispetto all'equazione quadratica di base. Per l'equazione a2-B2 qualsiasi cosa in cui aeb non sono uguali a 0, i fattori dell'equazione sono (a+b)(a-b).
Ad esempio, l'equazione 9x2 - 4 anni2 = (3x + 2a)(3x - 2a).
Passaggio 2. Se l'equazione è espressa nella forma a2+2ab+b2, fattore in (a+b)2.
Si noti che, se il trinomio è della forma a2-2ab+b2, i fattori di forma sono leggermente diversi: (a-b)2.
4x.equazione2 + 8xy + 4y2 può essere riscritto come 4x2 + (2 × 2 × 2)xy + 4y2. Ora, possiamo vedere che la forma è corretta, quindi possiamo essere sicuri che i fattori della nostra equazione sono (2x + 2y)2
Passaggio 3. Se l'equazione è espressa nella forma a3-B3, fattore in (a-b)(a2+ab+b2).
Infine, è già stato detto che le equazioni cubiche e le potenze ancora più elevate possono essere fattorizzate, sebbene il processo di fattorizzazione diventi rapidamente molto complicato.
Ad esempio, 8x3 - 27 anni3 scomposto in (2x - 3a)(4x2 + ((2x)(3y)) + 9y2)
Suggerimenti
- un2-B2 può essere scomposto, a2+b2 non può essere scomposto.
- Ricorda come fattorizzare una costante. Questo potrebbe aiutare.
- Fai attenzione alle frazioni nel processo di factoring e lavora con le frazioni correttamente e con attenzione.
- Se hai un trinomio della forma x2+bx+ (b/2)2, il fattore di forma è (x+(b/2))2. (Potresti incontrare questa situazione quando completi il quadrato.)
- Ricorda che a0=0 (proprietà del prodotto di zero).
