Un polinomio contiene una variabile (x) con una potenza, nota come grado, e diversi termini e/o costanti. Fattorizzare un polinomio significa spezzare l'equazione in equazioni più semplici che possono essere moltiplicate. Questa abilità è in Algebra 1 e versioni successive e potrebbe essere difficile da comprendere se le tue abilità matematiche non sono a questo livello.
Fare un passo
Cominciare
Passaggio 1. Imposta la tua equazione
Il formato standard per un'equazione quadratica è:
ascia2 + bx + c = 0
Inizia ordinando i termini della tua equazione dalla potenza più alta a quella più bassa, proprio come in questo formato standard. Per esempio:
6 + 6x2 + 13x = 0
Riordineremo questa equazione in modo che sia più facile lavorarci semplicemente spostando i termini:
6x2 + 13x + 6 = 0
Passaggio 2. Trovare il fattore di forma utilizzando uno dei seguenti metodi
La fattorizzazione del polinomio risulta in due equazioni più semplici che possono essere moltiplicate per produrre il polinomio originale:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
In questo esempio, (2x + 3) e (3x + 2) sono i fattori dell'equazione originale, 6x2 +13x+6.
Passaggio 3. Controlla il tuo lavoro
Moltiplica i fattori che hai. Quindi, combina termini simili e il gioco è fatto. Iniziare con:
(2x + 3)(3x + 2)
Proviamo a moltiplicare i termini utilizzando PLDT (first – outside – inside – last), ottenendo:
6x2 + 4x + 9x + 6
Da qui, possiamo sommare 4x e 9x perché sono come termini. Sappiamo che i nostri fattori sono corretti perché otteniamo la nostra equazione originale:
6x2 + 13x + 6
Metodo 1 di 6: prove ed errori
Se hai un polinomio abbastanza semplice, potresti essere in grado di trovare i fattori da solo guardandoli. Ad esempio, dopo la pratica, molti matematici possono capire che l'equazione 4x2 + 4x + 1 ha un fattore (2x + 1) e (2x + 1) solo guardandolo spesso. (Questo ovviamente non sarà facile per polinomi più complicati). Per questo esempio, usiamo un'equazione usata meno frequentemente:
3x2 + 2x - 8
Passaggio 1. Scrivere un elenco dei fattori del termine ae del termine c
Usando il formato dell'equazione dell'ascia2 + bx + c = 0, identifica i termini a e c e annota i fattori che hanno entrambi i termini. Per 3x2 + 2x - 8, che significa:
a = 3 e ha un insieme di fattori: 1 * 3
c = -8 e ha quattro serie di fattori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8.
Passaggio 2. Annotare due serie di parentesi con spazi vuoti
Riempirai gli spazi vuoti che hai creato con le costanti per ogni equazione:
(x)(x)
Passaggio 3. Completa gli spazi davanti a x con le possibili coppie di fattori per il valore di a
Per il termine a nel nostro esempio, 3x2, c'è solo una possibilità per il nostro esempio:
(3x)(1x)
Passaggio 4. Completa i due spazi dopo x con coppie di fattori per la costante
Supponiamo di scegliere 8 e 1. Scrivici dentro:
(3x
Passaggio 8.)(
Passo 1
Passaggio 5. Determinare il segno (più o meno) tra la variabile x e il numero
A seconda dei segni nell'equazione originale, potrebbe essere possibile cercare i segni per le costanti. Supponiamo di chiamare le due costanti h e k per i nostri due fattori:
Se ascia2 + bx + c quindi (x + h)(x + k)
Se ascia2 - bx - c o ax2 + bx - c quindi (x - h)(x + k)
Se ascia2 - bx + c quindi (x - h)(x - k)
Per il nostro esempio, 3x2 + 2x - 8, i segni sono:(x - h)(x + k), dandoci due fattori:
(3x + 8) e (x - 1)
Passaggio 6. Verifica le tue scelte utilizzando la moltiplicazione first-out-in-last (PLDT)
Il primo test rapido è vedere se il termine medio ha almeno il valore corretto. In caso contrario, potresti aver scelto i fattori c sbagliati. Testiamo la nostra risposta:
(3x + 8)(x - 1)
Per moltiplicazione si ottiene:
3x2 - 3x + 8x - 8
Semplificando questa equazione aggiungendo i termini simili (-3x) e (8x), otteniamo:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Ora sappiamo che dobbiamo aver usato i fattori sbagliati:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Passaggio 7. Modificare la selezione se necessario
Nel nostro esempio, proviamo 2 e 4 invece di 1 e 8:
(3x + 2)(x - 4)
Ora il nostro termine c è -8, ma il nostro prodotto esterno/interno (3x * -4) e (2 * x) è -12x e 2x, che combinati non produrranno il termine b +2x corretto.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Passaggio 8. Se necessario, invertire l'ordine
Proviamo a scambiare 2 e 4:
(3x + 4)(x - 2)
Ora, il nostro termine c (4 * 2 = 8) è corretto, ma il prodotto esterno/interno è -6x e 4x. Se li uniamo:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Siamo abbastanza vicini al 2x che stiamo cercando, ma il segno è sbagliato.
Passaggio 9. Se necessario, ricontrolla i tag
Useremo lo stesso ordine, ma scambiamo le equazioni che hanno il segno meno:
(3x - 4)(x + 2)
Ora il termine c non è un problema e l'attuale prodotto esterno/interno è (6x) e (-4x). Perché:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Ora possiamo usare 2x positivo dal problema originale. Questi devono essere i fattori corretti.
Metodo 2 di 6: decomposizione
Questo metodo identificherà tutti i possibili fattori dei termini a e c e li utilizzerà per trovare i fattori corretti. Se i numeri sono troppo grandi o le ipotesi sembrano richiedere molto tempo, usa questo metodo. Usiamo un esempio:
6x2 + 13x + 6
Passaggio 1. Moltiplica il termine a per il termine c
In questo esempio, a è 6 e anche c è 6.
6 * 6 = 36
Passaggio 2. Ottieni il termine b fattorizzando e testando
Cerchiamo due numeri che sono fattori del prodotto a * c che abbiamo identificato e che si sommano anche al termine b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Passaggio 3. Sostituisci i due numeri che ottieni nell'equazione come risultato dell'aggiunta del termine b
Usiamo k e h per rappresentare i due numeri che abbiamo, 4 e 9:
ascia2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Passaggio 4. Fattorizzare il polinomio raggruppando
Disponi le equazioni in modo da poter prendere il massimo comun divisore sia del primo che del secondo termine. Il gruppo di fattori deve essere lo stesso. Aggiungi il massimo fattore comune e posizionalo tra parentesi accanto al gruppo di fattori; il risultato sono i tuoi due fattori:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)
Metodo 3 di 6: Triple Play
Simile al metodo di scomposizione, il metodo triple play esamina i possibili fattori di moltiplicazione dei termini a e c e utilizzando il valore di b. Prova a usare questa equazione di esempio:
8x2 + 10x + 2
Passaggio 1. Moltiplica il termine a per il termine c
Come il metodo di analisi, questo ci aiuterà a identificare i candidati per il termine b. In questo esempio, a è 8 e c è 2.
8 * 2 = 16
Passaggio 2. Trova due numeri che, moltiplicati per numeri, producono questo numero con una somma totale pari al termine b
Questo passaggio è lo stesso dell'analisi: testiamo ed scartiamo i candidati per la costante. Il prodotto dei termini a e c è 16 e il termine c è 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Passaggio 3. Prendi questi due numeri e verificali inserendoli nella formula del triplo gioco
Prendi i nostri due numeri dal passaggio precedente - chiamiamoli h e k - e inseriscili nell'equazione:
((ax + h)(ax + k))/ a
Otterremo:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8
Passaggio 4. Nota se uno qualsiasi dei due termini del numeratore è divisibile per a
In questo esempio, abbiamo visto se (8x + 8) o (8x + 2) è divisibile per 8. (8x + 8) è divisibile per 8, quindi divideremo questo termine per a e lasceremo stare gli altri fattori.
(8x + 8) = 8(x + 1)
Il termine tra parentesi qui è ciò che rimane dopo aver diviso per il termine a.
Passaggio 5. Prendi il massimo fattore comune (GCF) di uno o entrambi i termini, se presenti
In questo esempio, il secondo termine ha MCF di 2, perché 8x + 2 = 2(4x + 1). Combina questo risultato con il termine ottenuto dal passaggio precedente. Questi sono i fattori nella tua equazione.
2(x + 1)(4x + 1)
Metodo 4 di 6: differenza di radici quadrate
Alcuni coefficienti nei polinomi possono essere "quadrati" o il prodotto di due numeri. L'identificazione di questi quadrati consente di fattorizzare più polinomi più rapidamente. Prova questa equazione:
27x2 - 12 = 0
Passaggio 1. Se possibile, elimina il fattore comune più grande
In questo caso, possiamo vedere che 27 e 12 sono divisibili per 3, quindi otteniamo:
27x2 - 12 = 3(9x2 - 4)
Passaggio 2. Identifica se i coefficienti della tua equazione sono numeri quadrati
Per utilizzare questo metodo, devi essere in grado di eseguire la radice quadrata di entrambi i termini. (Nota che ignoreremo il segno negativo - poiché questi numeri sono quadrati, possono essere il prodotto di due numeri positivi o negativi)
9x2 = 3x * 3x e 4 = 2 * 2
Passaggio 3. Usando la radice quadrata che hai ottenuto, annota i fattori
Prenderemo i valori di a e c dal nostro passaggio precedente - a = 9 e c = 4, quindi troveremo la radice quadrata - a = 3 e c = 2. Il risultato è il coefficiente dell'equazione del fattore:
27x2 - 12 = 3(9x2 - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
Metodo 5 di 6: Formula quadratica
Se tutto il resto fallisce e l'equazione non può essere scomposta per intero, usa la formula quadratica. Prova questo esempio:
X2 + 4x + 1 = 0
Passaggio 1. Immettere i valori richiesti nella formula quadratica:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Otteniamo l'equazione:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Passaggio 2. Trova il valore di x
Otterrai due valori. Come mostrato sopra, otteniamo due risposte:
x = -2 + (3) o x = -2 - (3)
Passaggio 3. Usa il tuo valore x per trovare i fattori
Inserisci i valori x che hai nelle due equazioni polinomiali come costanti. Il risultato sono i tuoi fattori. Se chiamiamo le nostre risposte h e k, scriviamo i due fattori come segue:
(x - h)(x - k)
In questo esempio, la nostra risposta finale è:
(x - (-2 + (3))(x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3))(x + 2 + (3))
Metodo 6 di 6: utilizzo della calcolatrice
Se sei autorizzato a usare una calcolatrice, una calcolatrice grafica rende il processo di fattorizzazione molto più semplice, specialmente per i test standardizzati. Queste istruzioni sono per la calcolatrice grafica TI. Useremo un'equazione di esempio:
y = x2 x 2
Passaggio 1. Inserisci la tua equazione nella calcolatrice
Utilizzerai la fattorizzazione dell'equazione, che è scritta [Y =] sullo schermo.
Passaggio 2. Disegna la tua equazione usando la calcolatrice
Quando hai inserito la tua equazione, premi [GRAPH] – vedrai una curva liscia che rappresenta la tua equazione (e la forma è una curva perché stiamo usando polinomi).
Passaggio 3. Trova la posizione in cui la curva si interseca con l'asse x
Poiché le equazioni polinomiali sono solitamente scritte come ax2 + bx + c = 0, questa intersezione è il secondo valore di x che fa sì che l'equazione sia zero:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Se non riesci a identificare dove il grafico si interseca con l'asse x guardandolo, premi [2nd] e poi [TRACE]. Premere [2] o selezionare zero. Spostare il cursore a sinistra dell'intersezione e premere [ENTER]. Spostare il cursore a destra dell'intersezione e premere [ENTER]. Spostare il cursore il più vicino possibile all'intersezione e premere [ENTER]. La calcolatrice troverà il valore di x. Fallo anche per gli altri incroci
Passaggio 4. Inserisci il valore x ottenuto nel passaggio precedente nelle due equazioni fattoriali
Se nominassimo entrambi i nostri valori x h e k, le equazioni che useremmo sarebbero:
(x - h)(x - k) = 0
Quindi, i nostri due fattori sono:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
Suggerimenti
- Se hai una calcolatrice TI-84 (grafico), c'è un programma chiamato SOLVER che risolverà le tue equazioni quadratiche. Questo programma risolverà polinomi di qualsiasi grado.
- Se un termine non è scritto, il coefficiente è 0. È utile riscrivere l'equazione se questo è il caso, ad esempio: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Se hai fattorizzato il tuo polinomio usando una formula quadratica e hai ottenuto la risposta in termini di radici, potresti voler convertire il valore di x in una frazione da verificare.
- Se un termine non ha coefficiente scritto, il coefficiente è 1, ad esempio: x2 = 1x2.
- Dopo un po' di pratica, alla fine sarai in grado di scomporre i polinomi nella tua testa. Fino a quando non puoi farlo, assicurati di scrivere sempre la procedura.
