Tutti i triangoli rettangoli hanno un angolo retto (90 gradi) e l'ipotenusa è il lato opposto a quell'angolo. L'ipotenusa è il lato più lungo del triangolo ed è anche molto facile trovarlo usando diversi modi. Questo articolo ti insegnerà come trovare la lunghezza dell'ipotenusa usando il teorema di Pitagora se conosci le lunghezze degli altri due lati del triangolo. Successivamente, questo articolo ti insegnerà come identificare l'ipotenusa di alcuni triangoli rettangoli speciali che appaiono frequentemente negli esami. Infine, questo articolo ti insegnerà come trovare la lunghezza dell'ipotenusa usando la legge del seno se conosci solo la lunghezza di un lato e la misura di un angolo diverso da un angolo retto.
Fare un passo
Metodo 1 di 3: utilizzo del teorema di Pitagora
Passaggio 1. Impara il teorema di Pitagora
Il teorema di Pitagora descrive la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo. Questo teorema afferma che per ogni triangolo rettangolo con i lati lungo a e b e un'ipotenusa lungo c, un2 + b2 = c2.
Passaggio 2. Assicurati che il tuo triangolo sia un triangolo rettangolo
Il teorema di Pitagora si applica solo ai triangoli rettangoli e, per definizione, solo i triangoli rettangoli hanno un'ipotenusa. Se il tuo triangolo ha un angolo che è esattamente di 90 gradi, è un triangolo rettangolo e puoi andare avanti.
Gli angoli retti sono spesso indicati nei libri di testo e negli esami da un quadratino nell'angolo dell'angolo. Questo segno particolare significa "90 gradi"
Passaggio 3. Assegna le variabili a, b e c ai lati del triangolo
La variabile "c" sarà sempre assegnata all'ipotenusa, o lato più lungo. Scegli uno degli altri lati come "a" e chiama l'altro lato "b" (non importa quale sia aob, il calcolo rimarrà lo stesso). Quindi, inserisci le lunghezze di a e b nella formula, secondo il seguente esempio:
Se il tuo triangolo ha i lati di lunghezza 3 e 4 e hai assegnato le lettere ai lati in modo che a = 3 e b = 4, scriveresti la tua equazione come: 32 + 42 = c2.
Passaggio 4. Trova il quadrato di a e b
Per trovare il quadrato di un numero, devi semplicemente moltiplicare il numero per se stesso, in modo che un2 = a x a. Trova i quadrati di a e b e inseriscili nella formula.
- Se a = 3, a2 = 3 x 3, o 9. Se b = 4, b2 = 4 x 4 o 16.
- Quando inserisci questi valori nella tua equazione, la tua equazione dovrebbe ora assomigliare a questa: 9 + 16 = c2.
Passaggio 5. Somma i valori di a2 e B2.
Inserisci la somma nella tua equazione e questo ti darà il valore di c2. Manca solo un passaggio e risolverai l'ipotenusa!
Nel nostro esempio, 9 + 16 = 25, quindi scriveresti 25 = c2.
Passaggio 6. Trova la radice quadrata di c2.
Usa la funzione radice quadrata sulla tua calcolatrice (o memoria o la tua tavola pitagorica) per trovare la radice quadrata di c2. La risposta è la lunghezza della tua ipotenusa!
Nel nostro esempio, C2 = 25. La radice quadrata di 25 è 5 (5 x 5 = 25, così Radice(25) = 5). Significa, c = 5, la lunghezza della nostra ipotenusa!
Metodo 2 di 3: Trovare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo speciale
Passaggio 1. Impara a riconoscere i triangoli con la tripla pitagorica
Le lunghezze dei lati della terna pitagorica sono numeri interi secondo il teorema di Pitagora. Questi triangoli speciali compaiono spesso nei libri di testo di geometria e negli esami standardizzati come l'ONU. Se ricordi soprattutto le prime 2 terne pitagoriche, puoi risparmiare molto tempo su questi test perché scoprirai rapidamente l'ipotenusa di uno di questi triangoli solo guardando le lunghezze dei lati!
- La prima terna pitagorica fu 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Quando vedi un triangolo rettangolo con i cateti di lunghezza 3 e 4, crederai immediatamente che la sua ipotenusa sia 5 senza dover fare alcun calcolo.
-
Il triplo rapporto pitagorico vale anche se i lati vengono moltiplicati per un altro numero. Ad esempio, un triangolo rettangolo con la lunghezza della gamba
Passaggio 6. da
Passaggio 8. avrà l'ipotenusa
Passaggio 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). Lo stesso vale per 9-12-15, e persino 1, 5-2-2, 5. Prova i calcoli e guarda tu stesso!
- La seconda terna pitagorica che compare frequentemente negli esami è 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Attenzione anche ai multipli come 10-24-26 e 2, 5-6-6, 5.
Passaggio 2. Ricorda il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo 45-45-90
Un triangolo rettangolo 45-45-90 ha angoli di 45, 45 e 90 gradi ed è anche chiamato triangolo rettangolo isoscele. Questo triangolo appare frequentemente negli esami standardizzati ed è un triangolo molto facile da risolvere. Il rapporto tra i lati di questo triangolo è 1:1: Radice(2), il che significa che le lunghezze dei cateti sono uguali e la lunghezza dell'ipotenusa è semplicemente la lunghezza dei cateti moltiplicata per la radice quadrata di due.
- Per calcolare l'ipotenusa di questo triangolo in base alla lunghezza di uno dei suoi cateti, moltiplica semplicemente la lunghezza del cateto per Sqrt(2).
- Conoscere questi confronti è utile, soprattutto quando le domande dell'esame o dei compiti a casa forniscono le lunghezze dei lati come variabili anziché come numeri interi.
Passaggio 3. Studiare i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo 30-60-90
Questi triangoli hanno misure angolari di 30, 60 e 90 gradi e si verificano quando si taglia a metà un triangolo equilatero. I lati di un triangolo rettangolo 30-60-90 hanno sempre il rapporto 1:Radice(3):2, o x:Radice(3)x:2x. Se ti venisse data la lunghezza di un cateto di un triangolo rettangolo 30-60-90 e ti venisse chiesto di trovare l'ipotenusa, questo problema sarebbe molto facile da fare:
-
Se ti viene data la lunghezza della gamba più corta (opposto con un angolo di 30 gradi), moltiplica semplicemente la lunghezza della gamba per 2 per trovare la lunghezza dell'ipotenusa. Ad esempio, se la lunghezza della gamba più corta è
Passaggio 4., sai che la lunghezza dell'ipotenusa deve essere
Passaggio 8..
-
Se ti viene data la lunghezza della gamba più lunga (opposto a un angolo di 60 gradi), moltiplica quella lunghezza per 2/Radice(3) per trovare la lunghezza dell'ipotenusa. Ad esempio, se la lunghezza della gamba più lunga è
Passaggio 4., sai che la lunghezza dell'ipotenusa definita è 4, 62.
Metodo 3 di 3: Trovare l'ipotenusa usando la legge del seno
Passaggio 1. Comprendi il significato di "Sine"
I termini "seno", "coseno" e "tangente" si riferiscono ai vari rapporti tra gli angoli e/o i lati di un triangolo rettangolo. In un triangolo rettangolo, seno un angolo è definito come la lunghezza del lato opposto all'angolo diviso per triangolo ipotenusa. L'abbreviazione di seno in equazioni e calcolatrici è peccato.
Passaggio 2. Impara a calcolare il seno
Anche i calcolatori scientifici di base hanno una funzione seno. Cerca il pulsante che dice peccato. Per trovare il seno di un angolo, di solito si preme il tasto peccato e poi inserire la misura dell'angolo in gradi. Tuttavia, in alcune calcolatrici, è necessario prima inserire la misurazione dell'angolo e quindi premere il pulsante peccato. Dovrai sperimentare con la tua calcolatrice o controllare il manuale per capire quale metodo utilizzare.
- Per trovare il seno di un angolo di 80 gradi, devi inserire peccato 80 seguito da un segno di uguale o Invio, o 80 peccato. (La risposta è -0, 9939.)
- Puoi anche digitare "calcolatrice del seno" in una ricerca web e cercare alcuni calcolatori facili da usare, che elimineranno qualsiasi congettura.
Passaggio 3. Impara la legge del seno
La legge dei seni è uno strumento utile per risolvere i triangoli. In particolare, questa legge può aiutarti a trovare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo se conosci la lunghezza di un lato e la misura di un angolo diverso da quell'angolo retto. Per qualsiasi triangolo con i lati un, B, e Ce angoli UN, B, e C, la legge del seno afferma che a / peccato A = b / peccato B = c / sin C.
La legge dei seni può essere effettivamente utilizzata per risolvere qualsiasi triangolo, ma solo i triangoli rettangoli hanno un'ipotenusa
Passaggio 4. Assegna le variabili a, b e c ai lati del triangolo
L'ipotenusa (lato maggiore) deve essere "c". Per comodità, etichetta "a" per il lato di lunghezza nota e etichetta "b" per l'altro lato. L'angolo retto opposto all'ipotenusa è "C". L'angolo opposto al lato "a" è l'angolo "A", e l'angolo opposto al lato "b" è "B".
Passaggio 5. Calcolare la misura del terzo angolo
Poiché è un angolo retto, sappiamo già che C = 90 gradi, e conosci anche le misure UN o B. Poiché la misura del grado interno di un triangolo è sempre uguale a 180 gradi, puoi facilmente calcolare la misura degli angoli di tutti e tre utilizzando la formula: 180 – (90 + LA) = SI. Puoi anche invertire l'equazione in 180 – (90 + SI) = LA.
Ad esempio, se lo sai A = 40 gradi, B = 180 – (90 + 40). Semplifica questo in B = 180 – 130, e puoi determinarlo rapidamente B = 50 gradi.
Passaggio 6. Controlla il tuo triangolo
In questo passaggio conosci già le misure dei tre angoli e la lunghezza del lato a. Ora è il momento di inserire queste informazioni nelle equazioni della Legge del seno per determinare le lunghezze degli altri due lati.
Per continuare il nostro esempio, diciamo la lunghezza del lato a = 10. Angolo C = 90 gradi, angolo A = 40 gradi e angolo B = 50 gradi
Passaggio 7. Applica la legge del seno al tuo triangolo
Abbiamo solo bisogno di inserire i nostri numeri e risolvere la seguente equazione per trovare la lunghezza dell'ipotenusa c: lunghezza lato a / sin A = lunghezza lato c / sin C. Questa equazione può sembrare un po' spaventosa, ma il seno di 90 gradi è sempre lo stesso ed è sempre uguale a 1! Quindi, la nostra equazione può essere semplificata a: a / sin A = c / 1, o semplicemente a / sin A = c.
Passaggio 8. Dividi la lunghezza del lato a con il seno dell'angolo A per trovare la lunghezza dell'ipotenusa!
Puoi trovarlo in due passaggi separati, prima calcolando sin A e annotando il risultato, quindi dividendo per a. Oppure puoi inserire tutto nella calcolatrice contemporaneamente. Se stai usando una calcolatrice, ricorda di mettere le parentesi dopo il segno di divisione. Ad esempio, inserisci 10 / (peccato 40) o 10 / (40 peccato), a seconda della calcolatrice.
