Le espressioni razionali devono essere semplificate fino agli stessi fattori più semplici. Questo è un processo abbastanza semplice se lo stesso fattore è un fattore a termine singolo, ma il processo diventa un po' più dettagliato se il fattore include molti termini. Ecco cosa dovresti fare, a seconda del tipo di espressione razionale con cui hai a che fare.
Fare un passo
Metodo 1 di 3: espressioni razionali mononomiali (termine singolo)
Passaggio 1. Verificare il problema
Le espressioni razionali che consistono solo di monomi (singoli termini) sono le espressioni più facili da semplificare. Se entrambi i termini dell'espressione hanno un solo termine, tutto ciò che devi fare è semplicemente semplificare numeratore e denominatore agli stessi minimi termini.
- Nota che mono significa "uno" o "singolo" in questo contesto.
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Esempio:
4x/8x^2
Passaggio 2. Eliminare tutte le variabili che sono le stesse
Guarda le variabili lettera nell'espressione. Se la stessa variabile appare sia al numeratore che al denominatore, puoi omettere questa variabile tante volte quante appare in entrambe le parti dell'espressione.
- In altre parole, se la variabile compare solo una volta nell'espressione al numeratore e una volta nel denominatore, la variabile può essere completamente omessa: x/x = 1/1 = 1
- Tuttavia, se una variabile ricorre più volte sia al numeratore che al denominatore, ma si verifica almeno una volta solo in un'altra parte dell'espressione, sottrarre l'esponente che la variabile ha nella parte più piccola dell'espressione dall'esponente che la variabile ha in la parte più grande: x^4/ x^2 = x^2/1
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Esempio:
x/x^2 = 1/x
Passaggio 3. Semplifica le costanti ai loro termini più semplici
Se le costanti di un numero hanno gli stessi fattori, dividi la costante al numeratore e la costante al denominatore per lo stesso fattore, per semplificare la frazione alla sua forma più semplice: 8/12 = 2/3
- Se le costanti in un'espressione razionale non hanno gli stessi fattori, allora non possono essere semplificate: 7/5
- Se una costante è divisibile per un'altra costante, allora è considerata un fattore uguale: 3/6 = 1/2
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Esempio:
4/8 = 1/2
Passaggio 4. Scrivi la tua risposta finale
Per determinare la tua risposta finale, devi combinare nuovamente le variabili semplificate e le costanti semplificate.
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Esempio:
4x/8x^2 = 1/2x
Metodo 2 di 3: espressioni razionali binomiali e polinomiali con fattori mononomiali (termine singolo)
Passaggio 1. Verificare il problema
Se una parte di un'espressione razionale è un monomio (termine singolo), ma l'altra parte è un binomio o un polinomio, potrebbe essere necessario semplificare l'espressione specificando un fattore monomio (termine singolo) che può essere applicato sia al numeratore che al denominatore.
- In questo contesto, mono significa "uno" o "singolo", bi significa "due" e poly significa "molti".
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Esempio:
(3x)/(3x + 6x^2)
Passaggio 2. Distribuisci tutte le variabili che sono le stesse
Se una variabile lettera appare in tutti i termini dell'equazione, è possibile includere tale variabile come parte del termine scomposto.
- Questo vale solo se la variabile è presente in tutti i termini dell'equazione: x/x^3 – x^2 + x = (x)(x^2 – x + 1)
- Se uno dei termini dell'equazione non ha questa variabile, non puoi fattorizzarla: x/x^2 + 1
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Esempio:
x/(x + x^2) = [(x)(1)] / [(x)(1 + x)]
Passaggio 3. Distribuire tutte le costanti uguali
Se le costanti numeriche in tutti i termini hanno gli stessi fattori, dividere ogni costante nei termini per lo stesso fattore, per semplificare numeratore e denominatore.
- Se una costante è divisibile per un'altra costante, allora è considerata un fattore uguale: 2 / (2 + 4) = 2 * [1 / (1 + 2)]
- Nota che questo si applica solo se tutti i termini dell'espressione hanno almeno un fattore in comune: 9 / (6 – 12) = 3 * [3 / (2 – 4)]
- Ciò non si applica se uno qualsiasi dei termini nell'espressione non ha lo stesso fattore: 5 / (7 + 3)
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Esempio:
3/(3 + 6) = [(3)(1)] / [(3)(1 + 2)]
Passaggio 4. Scomponi gli elementi uguali
Ricombinare le variabili semplificate e le costanti semplificate per determinare lo stesso fattore. Rimuovere questo fattore dall'espressione, lasciando variabili e costanti che non sono le stesse in tutti i termini.
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Esempio:
(3x)/(3x + 6x^2) = [(3x)(1)] / [(3x)(1 + 2x)]
Passaggio 5. Scrivi la tua risposta finale
Per determinare la risposta finale, rimuovere i fattori comuni dall'espressione.
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Esempio:
[(3x)(1)] / [(3x)(1 + 2x)] = 1/(1 + 2x)
Metodo 3 di 3: Espressioni razionali binomiali o polinomiali con fattori binomiali
Passaggio 1. Verificare il problema
Se non c'è un termine monomio (termine singolo) nell'espressione razionale, devi spezzare il numeratore e la frazione in fattori binomiali.
- In questo contesto, mono significa "uno" o "singolo", bi significa "due" e poly significa "molti".
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Esempio:
(x^2 - 4) / (x^2 - 2x - 8)
Passaggio 2. Scomporre il numeratore nei suoi fattori binomiali
Per suddividere il numeratore nei suoi fattori, devi determinare le possibili soluzioni per la tua variabile, x.
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Esempio:
(x^2 – 4) = (x - 2) * (x + 2)
- Per trovare il valore di x, devi spostare la costante da un lato e la variabile dall'altro: x^2 = 4
- Semplifica x alla potenza di uno trovando la radice quadrata di entrambi i lati: x^2 = 4
- Ricorda che la radice quadrata di qualsiasi numero può essere positiva o negativa. Quindi, le possibili risposte per x sono: - 2, +2
- Così, quando si descrive (x^2 – 4) essendo i fattori, i fattori sono: (x - 2) * (x + 2)
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Ricontrolla i tuoi fattori moltiplicandoli. Se non sei sicuro di aver fattorizzato correttamente o meno una parte di questa espressione razionale, puoi moltiplicare questi fattori per assicurarti che il risultato sia lo stesso dell'espressione originale. Ricordati di usare PLDT se opportuno utilizzare: Pprimo, ioal di fuori, Dnaturale, Tfine.
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Esempio:
(x - 2) * (x + 2) = x^2 + 2x - 2x – 4 = x^2 – 4
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Passaggio 3. Scomponi il denominatore nei suoi fattori binomiali
Per suddividere il denominatore nei suoi fattori, devi determinare le possibili soluzioni per la tua variabile, x.
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Esempio:
(x^2 - 2x – 8) = (x + 2) * (x – 4)
- Per trovare il valore di x, devi spostare la costante da un lato e spostare tutti i termini, comprese le variabili, dall'altro lato: x^2 2x = 8
- Completa il quadrato dei coefficienti del termine x e aggiungi i valori a entrambi i lati: x^2 2x + 1 = 8 + 1
- Semplifica il lato destro e scrivi il quadrato perfetto a destra: (x 1)^2 = 9
- Trova la radice quadrata di entrambi i lati: x 1 = ±√9
- Trova il valore di x: x = 1 ±√9
- Come ogni equazione quadratica, x ha due possibili soluzioni.
- x = 1 - 3 = -2
- x = 1 + 3 = 4
- Perciò, (x^2 - 2x – 8) scomposto in (x + 2) * (x – 4)
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Ricontrolla i tuoi fattori moltiplicandoli. Se non sei sicuro di aver fattorizzato correttamente o meno una parte di questa espressione razionale, puoi moltiplicare questi fattori per assicurarti che il risultato sia lo stesso dell'espressione originale. Ricordati di usare PLDT se opportuno utilizzare: Pprimo, ioal di fuori, Dnaturale, Tfine.
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Esempio:
(x + 2) * (x – 4) = x^2 – 4x + 2x – 8 = x^2 - 2x - 8
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Passaggio 4. Elimina gli stessi fattori
Trova il fattore binomiale, se presente, che è lo stesso sia al numeratore che al denominatore. Rimuovere questo fattore dall'espressione, lasciando diseguali i fattori binomiali.
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Esempio:
[(x - 2)(x + 2)] / [(x + 2)(x – 4)] = (x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)]
Passaggio 5. Scrivi la tua risposta finale
Per determinare la risposta finale, rimuovere i fattori comuni dall'espressione.
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Esempio:
(x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)] = (x – 2) / (x – 4)
