Un'equazione razionale è una frazione con una o più variabili al numeratore o al denominatore. Un'equazione razionale è una frazione che coinvolge almeno un'equazione razionale. Come le equazioni algebriche ordinarie, le equazioni razionali vengono risolte eseguendo la stessa operazione su entrambi i lati dell'equazione finché le variabili non possono essere trasferite su entrambi i lati dell'equazione. Due tecniche speciali, la moltiplicazione incrociata e la ricerca del minimo comune denominatore, sono modi molto utili per spostare le variabili e risolvere equazioni razionali.
Fare un passo
Metodo 1 di 2: moltiplicazione incrociata
Passaggio 1. Se necessario, riorganizza l'equazione per ottenere una frazione su un lato dell'equazione
La moltiplicazione incrociata è un modo semplice e veloce per risolvere equazioni razionali. Sfortunatamente, questo metodo può essere utilizzato solo per equazioni razionali che contengono almeno un'equazione o frazione razionale su ciascun lato dell'equazione. Se la tua equazione non soddisfa questi requisiti trasversali del prodotto, potresti dover utilizzare operazioni algebriche per spostare le parti nei punti giusti.
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Ad esempio, l'equazione (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 può essere facilmente trasformata in prodotto incrociato aggiungendo x/(-2) a entrambi i lati dell'equazione, in modo che diventi (x + 3)/4 = x/(-2).
Nota che i numeri decimali e interi possono essere convertiti in frazioni dando il denominatore 1. (x + 3)/4 – 2, 5 = 5, ad esempio, può essere riscritto come (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, facendo sì che soddisfi la condizione di moltiplicazione incrociata
- Alcune equazioni razionali non possono essere facilmente ridotte a una forma che ha una frazione o un'equazione razionale su ciascun lato. In tali casi, utilizzare lo stesso approccio al minimo denominatore.
Passaggio 2. Moltiplicazione incrociata
Moltiplicare incrociato significa moltiplicare uno dei numeratori di una frazione per il denominatore di un'altra frazione e viceversa. Moltiplica il numeratore della frazione a sinistra per il denominatore della frazione a destra. Ripeti con il denominatore destro con il denominatore sinistro.
La moltiplicazione incrociata funziona secondo i principi algebrici di base. Le equazioni razionali e altre frazioni possono essere trasformate in non frazioni moltiplicandole per il denominatore. Il prodotto incrociato è fondamentalmente un modo rapido per moltiplicare entrambi i lati di un'equazione per entrambi i denominatori. Non credere? Fai un tentativo: otterrai lo stesso risultato dopo averlo semplificato
Passaggio 3. Rendi i due prodotti uguali tra loro
Dopo la moltiplicazione incrociata, otterrai due risultati di moltiplicazione. Rendili uguali tra loro e semplificali per rendere l'equazione il più semplice possibile.
Ad esempio, se la tua equazione razionale originale era (x+3)/4 = x/(-2), dopo la moltiplicazione incrociata, la tua nuova equazione diventa -2(x+3) = 4x. Se vuoi, puoi anche scriverlo come -2x - 6 = 4x
Passaggio 4. Trova il valore della tua variabile
Usa le operazioni algebriche per trovare il valore della variabile della tua equazione. Ricorda che, se x appare su entrambi i lati dell'equazione, devi aggiungere o sottrarre x da entrambi i lati dell'equazione per lasciare x solo su un lato dell'equazione.
Nel nostro esempio, possiamo dividere entrambi i lati dell'equazione per -2, quindi x+3 = -2x. Sottraendo x da entrambi i lati si ottiene 3 = -3x. Infine, dividendo entrambi i membri per -3, il risultato diventa -1 = x, che può essere scritto come x = -1. Abbiamo trovato il valore di x, risolvendo la nostra equazione razionale
Metodo 2 di 2: trovare il minimo comune denominatore
Passaggio 1. Conoscere l'ora esatta per utilizzare lo stesso denominatore più piccolo
Lo stesso minimo denominatore può essere utilizzato per semplificare le equazioni razionali, rendendole ricercabili per valori variabili. Trovare il minimo comune denominatore è una buona idea se la tua equazione razionale non può essere facilmente scritta in termini di una frazione (e solo una frazione) su ciascun lato dell'equazione. Per risolvere equazioni razionali con tre o più parti, è utile il minimo comune denominatore. Tuttavia, per risolvere un'equazione razionale con solo due parti, è più veloce utilizzare il prodotto incrociato.
Passaggio 2. Controlla il denominatore di ciascuna frazione
Identifica il numero più piccolo che ogni denominatore può dividere e produce un numero intero. Questo numero è il minimo comune denominatore per la tua equazione.
- A volte il minimo comune denominatore, ovvero il numero più piccolo che ha tutti i fattori nel denominatore, è chiaramente visibile. Ad esempio, se la tua equazione è x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, non è difficile vedere il numero più piccolo che ha un fattore di 3, 2 e 6, che è il numero 6.
- Tuttavia, spesso, il minimo comune denominatore di un'equazione razionale non è chiaramente visibile. In un caso come questo, prova a controllare i multipli del denominatore più grande finché non trovi un numero che ha un fattore di tutti gli altri denominatori più piccoli. Spesso il minimo comune denominatore è il prodotto di due denominatori. Ad esempio, nell'equazione x/8 + 2/6 = (x-3)/9, il minimo comune denominatore è 8*9 = 72.
- Se uno o più denominatori della tua frazione hanno variabili, questo processo è più difficile, ma possibile. In un caso come questo, il minimo comune denominatore è un'equazione (con una variabile) che è divisibile per tutti gli altri denominatori. Ad esempio nell'equazione 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), il minimo comune denominatore è 3x(x-1) perché qualsiasi denominatore può dividerlo - dividendo per (x-1) dà 3x, dividendo per 3x dà (x-1) e dividendo per x dà 3(x-1).
Passaggio 3. Moltiplica ogni frazione nell'equazione razionale per 1
Moltiplicare ogni parte per 1 sembra inutile. Ma ecco il trucco. 1 può essere definito come qualsiasi numero uguale sia al numeratore che al denominatore, come -2/2 e 3/3, che è il modo corretto di scrivere 1. Questo metodo sfrutta la definizione alternativa. Moltiplica ogni frazione nella tua equazione razionale per 1, annotando il numero 1 che moltiplicato per il denominatore dà il minimo comun denominatore.
- Nel nostro esempio di base, moltiplichiamo x/3 per 2/2 per ottenere 2x/6 e moltiplichiamo 1/2 per 3/3 per ottenere 3/6. 2x + 1/6 ha già lo stesso denominatore più piccolo, che è 6, quindi possiamo moltiplicarlo per 1/1 o lasciarlo stare.
- Nel nostro esempio con una variabile al denominatore della frazione, il processo è un po' più complicato. Poiché il nostro minimo denominatore è 3x(x-1), moltiplichiamo ogni equazione razionale per qualcosa che restituisce 3x(x-1). Moltiplichiamo 5/(x-1) per (3x)/(3x) che dà 5(3x)/(3x)(x-1), moltiplichiamo 1/x per 3(x-1)/3(x- 1) che dà 3(x-1)/3x(x-1) e moltiplicando 2/(3x) per (x-1)/(x-1) dà 2(x-1)/3x(x- 1).
Passaggio 4. Semplifica e trova il valore di x
Ora, poiché ogni parte della tua equazione razionale ha lo stesso denominatore, puoi rimuovere il denominatore dall'equazione e risolvere per il numeratore. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per ottenere il valore del numeratore. Quindi, usa le operazioni algebriche per trovare il valore di x (o qualunque variabile tu voglia risolvere) su un lato dell'equazione.
- Nel nostro esempio di base, dopo aver moltiplicato tutte le parti per la forma alternativa 1, otteniamo 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. È possibile aggiungere due frazioni se hanno lo stesso denominatore, quindi possiamo semplificare questa equazione a (2x+3)/6 = (3x+1)/6 senza modificare il valore. Moltiplica entrambi i lati per 6 per rimuovere il denominatore, quindi il risultato è 2x+3 = 3x+1. Sottrai 1 da entrambi i lati per ottenere 2x+2 = 3x e sottrai 2x da entrambi i lati per ottenere 2 = x, che può essere scritto come x = 2.
- Nel nostro esempio con una variabile al denominatore, la nostra equazione dopo aver moltiplicato per 1 diventa 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1) /3x(x-1). Moltiplicando tutte le parti per lo stesso minimo denominatore, permettendoci di omettere il denominatore, diventa 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). Questo vale anche per 5x = 3x - 3 + 2x -2, che si semplifica in 15x = x - 5. Sottraendo x da entrambi i lati si ottiene 14x = -5, che alla fine si semplifica in x = -5/14.
Suggerimenti
- Quando hai risolto la variabile, controlla la tua risposta inserendo il valore della variabile nell'equazione originale. Se il valore della tua variabile è corretto, puoi semplificare l'equazione originale in una semplice affermazione che è sempre uguale a 1 = 1.
- Nota che puoi scrivere qualsiasi polinomio come equazione razionale; mettilo sopra il denominatore 1. Quindi x+3 e (x+3)/1 hanno lo stesso valore, ma la seconda equazione può essere classificata come equazione razionale perché è scritta come una frazione.
