3 modi per semplificare le espressioni algebriche

2024 Autore: Jason Gerald | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-15 08:17

Imparare a semplificare le espressioni algebriche è una delle chiavi per padroneggiare l'algebra di base e lo strumento più utile di cui ogni matematico ha bisogno. La semplificazione consente ai matematici di convertire espressioni complesse, lunghe e/o dispari in espressioni equivalenti più semplici o più facili. Le abilità di semplificazione di base sono molto facili da imparare, anche per coloro che odiano la matematica. Seguendo alcuni semplici passaggi, è possibile semplificare molti dei tipi di espressioni algebriche più frequentemente utilizzati, senza ricorrere a particolari conoscenze matematiche. Dai un'occhiata al passaggio 1 per iniziare!

Fare un passo

Comprensione di concetti importanti

Passaggio 1. Raggruppa i termini simili in base alle loro variabili e poteri

In algebra, termini simili hanno la stessa configurazione variabile, con la stessa potenza. In altre parole, perché due termini siano uguali, devono avere la stessa variabile, o nessuna variabile, e ogni variabile ha la stessa potenza, o nessun esponente. L'ordine delle variabili in termini non è importante.

Ad esempio, 3x² e 4x² sono come i termini perché entrambi hanno una variabile x con la potenza del quadrato. Tuttavia, x e x² non sono come i termini perché ogni termine ha una variabile x con una potenza diversa. Quasi uguali, -3yx e 5xz non sono come termini perché ogni termine ha una variabile diversa.

Passaggio 2. Fattore scrivendo il numero come prodotto dei due fattori

Il factoring è il concetto di scrivere un dato numero come il prodotto di due fattori che vengono moltiplicati. I numeri possono avere più di un insieme di fattori: ad esempio, 12 può essere ottenuto da 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4, quindi possiamo dire che 1, 2, 3, 4, 6 e 12 sono fattori di 12 Un altro modo di immaginarlo è che i fattori di un numero siano i numeri che dividono il numero intero.

• Ad esempio, se volessimo fattorizzare 20, potremmo scriverlo come 4 × 5.
• Si noti che anche i termini variabili possono essere fattorizzati. -20x, ad esempio, può essere scritto come 4(5x).
• I numeri primi non possono essere scomposti perché possono essere divisi solo per se stessi e 1.

Passaggio 3. Utilizzare l'acronimo KaPaK BoTaK per ricordare l'ordine delle operazioni

A volte, semplificare un'espressione risolve semplicemente l'operazione nell'equazione finché non è più praticabile. In questi casi è molto importante ricordare l'ordine delle operazioni in modo che non si verifichino errori aritmetici. L'acronimo KaPaK BoTaK ti aiuterà a ricordare l'ordine delle operazioni: le lettere indicano i tipi di operazioni che dovresti eseguire, nell'ordine:

• Kfallire
• Psollevamento
• Kali
• Bancora
• TInserisci
• Kgamberetto

Metodo 1 di 3: Unisci termini simili

Passaggio 1. Scrivi la tua equazione

Le equazioni algebriche più semplici, che coinvolgono solo pochi termini variabili con coefficienti interi e senza frazioni, radici, ecc., possono spesso essere risolte in pochi passaggi. Per la maggior parte dei problemi di matematica, il primo passo per semplificare l'equazione è scriverla!

Come problema di esempio, per i prossimi passi, usiamo l'espressione 1 + 2x - 3 + 4x.

Passaggio 2. Identifica tribù simili

Quindi, cerca termini simili nella tua equazione. Ricorda che termini simili hanno la stessa variabile ed esponente.

Ad esempio, identifichiamo termini simili nella nostra equazione 1 + 2x – 3 + 4x. 2x e 4x hanno entrambi la stessa variabile con la stessa potenza (in questo caso x non ha esponente). Inoltre, 1 e -3 sono come termini perché non hanno variabili. Quindi nella nostra equazione, 2x e 4x e 1 e -3 sono tribù simili.

Passaggio 3. Combina termini simili

Ora che hai identificato i termini simili, puoi combinarli per semplificare la tua equazione. Aggiungi i termini (o sottrai in caso di termini negativi) per ridurre l'insieme dei termini con la stessa variabile ed esponente a un termine uguale.

• Aggiungiamo termini simili nel nostro esempio.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Passaggio 4. Creare un'equazione più semplice dai termini semplificati

Dopo aver combinato i termini simili, crea un'equazione dal nuovo insieme più piccolo di termini. Otterrai un'equazione più semplice, che ha un termine per i diversi insiemi di variabili e potenze nell'equazione originale. Questa nuova equazione è equivalente all'equazione originale.

Nel nostro esempio, i nostri termini semplificati sono 6x e -2, quindi la nostra nuova equazione è 6x - 2. Questa semplice equazione è equivalente all'originale (1 + 2x - 3 + 4x), ma più breve e più facile da lavorare. È anche più facile da fattorizzare, cosa che vedremo di seguito, che è un'altra importante abilità di semplificazione.

Passaggio 5. Seguire l'ordine delle operazioni quando si combinano termini simili

In equazioni molto semplici come quella su cui abbiamo lavorato nel problema di esempio sopra, identificare termini simili è facile. Tuttavia, in equazioni più complesse, come espressioni che coinvolgono termini tra parentesi, frazioni e radici, come i termini che possono essere combinati potrebbero non essere chiaramente visibili. In questi casi, segui l'ordine delle operazioni, eseguendo le operazioni sui termini nell'espressione secondo necessità finché non rimangono le operazioni di addizione e sottrazione.

• Ad esempio, usiamo l'equazione 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Sarebbe sbagliato considerare immediatamente 3x e 2x come termini simili e combinarli perché le parentesi nell'espressione indicano che dobbiamo prima fare altre operazioni. Innanzitutto, eseguiamo operazioni aritmetiche sull'espressione nell'ordine delle operazioni per ottenere i termini che possiamo usare. Vedere quanto segue:

  • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Ora, poiché le uniche operazioni rimanenti sono l'addizione e la sottrazione, possiamo combinare termini simili.
  • X² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • X² + 12x + 3

Metodo 2 di 3: Factoring

Passaggio 1. Identificare il più grande fattore comune nell'espressione

Il factoring è un modo per semplificare un'espressione rimuovendo i fattori che sono gli stessi in tutti i termini simili nell'espressione. Per iniziare, trova il più grande fattore comune che hanno tutti i termini, in altre parole, il numero più grande che divide tutti i termini nell'intera espressione.

• Usiamo l'equazione 9x.² + 27x - 3. Nota che ogni termine in questa equazione è divisibile per 3. Poiché i termini non sono divisibili per nessun numero maggiore, possiamo dire che

  Passaggio 3. è il nostro più grande fattore comune.

Passaggio 2. Dividi i termini nell'espressione per il massimo comun divisore

Quindi, dividi ogni termine della tua equazione per il massimo comun divisore che hai appena trovato. I termini quoziente avranno un coefficiente più piccolo dell'equazione originale.

• Scomponiamo in fattori la nostra equazione per il suo massimo comun divisore, 3. Per fare ciò, divideremo ogni termine per 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Quindi, la nostra nuova espressione è 3x² + 9x - 1.

Passaggio 3. Scrivi la tua espressione come il prodotto del massimo comun divisore moltiplicato per i termini rimanenti

La tua nuova espressione non è equivalente alla tua espressione originale, quindi non sarebbe corretto dire che l'espressione è stata semplificata. Per rendere la nostra nuova espressione uguale all'originale, dobbiamo includere il fatto che la nostra espressione è stata divisa per il massimo comun divisore. Racchiudi la tua nuova espressione tra parentesi e scrivi il massimo comun divisore dell'equazione originale come coefficiente di espressione tra parentesi.

Per la nostra equazione di esempio, 3x² + 9x - 1, possiamo racchiudere l'espressione tra parentesi e moltiplicarla per il massimo comun divisore dell'equazione originale per ottenere 3(3x² + 9x - 1). Questa equazione è equivalente all'equazione originale, 9x² +27x - 3.

Passaggio 4. Utilizzare la fattorizzazione per semplificare le frazioni

Ora ti starai chiedendo perché viene utilizzato il factoring, se anche dopo aver rimosso il massimo comun divisore, la nuova espressione deve essere moltiplicata di nuovo per quel fattore. Infatti, la fattorizzazione consente ai matematici di eseguire vari trucchi per semplificare le espressioni. Uno dei suoi trucchi più semplici sfrutta il fatto che moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero si possono ottenere frazioni equivalenti. Vedere quanto segue:

• Dì la nostra espressione di esempio iniziale, 9x² + 27x - 3, è il quantificatore della frazione più grande con 3 come numeratore. La frazione sarà simile a questa: (9x² + 27x - 3)/3. Possiamo usare la fattorizzazione per semplificare le frazioni.

  • Sostituiamo la forma di fattorizzazione della nostra espressione originale con l'espressione al numeratore: (3(3x² + 9x - 1))/3
  • Nota che ora, sia il numeratore che il denominatore hanno un coefficiente di 3. Dividendo il numeratore e il denominatore per 3, otteniamo: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Poiché ogni frazione con denominatore 1 è equivalente ai termini del numeratore, possiamo dire che la nostra frazione iniziale può essere semplificata a 3x² + 9x - 1.

Metodo 3 di 3: applicazione di ulteriori abilità di semplificazione

Passaggio 1. Semplifica le frazioni dividendo per gli stessi fattori

Come notato sopra, se il numeratore e il denominatore di un'equazione hanno gli stessi fattori, questi fattori possono essere completamente omessi nella frazione. A volte, sarà necessario scomporre in fattori il numeratore, il denominatore o entrambi (come nel caso del problema di esempio sopra), mentre a volte gli stessi fattori sono spesso ovvi. Si noti che è anche possibile dividere uno per uno i termini del numeratore per l'equazione al denominatore per ottenere un'espressione semplice.

• Lavoriamo su un esempio che non richiede fattorizzazione. Per le frazioni (5x² + 10x + 20)/10, possiamo dividere ogni termine al numeratore per 10 per semplificare, anche se il coefficiente è 5 in 5x² non è maggiore di 10 e quindi 10 non è un fattore.

  Se lo facciamo, otterremo ((5x²)/10) + x + 2. Se volessimo, potremmo riscrivere il primo termine come (1/2)x² quindi otteniamo (1/2)x² +x+2.

Passaggio 2. Utilizzare i fattori al quadrato per semplificare le radici

L'espressione sotto il segno della radice è chiamata espressione della radice. Questa espressione può essere semplificata identificando i fattori al quadrato (fattori che sono quadrati di interi) ed eseguendo l'operazione di radice quadrata separatamente per rimuoverli da sotto il segno di radice quadrata.

• Facciamo un semplice esempio - (90). Se pensiamo a 90 come al prodotto dei suoi due fattori, 9 e 10, possiamo prendere la radice quadrata di 9 che è l'intero 3 e rimuoverla dal segno del radicale. In altre parole:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Passaggio 3. Aggiungi esponenti quando moltiplichi due esponenti; sottrarre quando si divide

Alcune espressioni algebriche richiedono la moltiplicazione o la divisione dei termini di potenza. Invece di calcolare o dividere manualmente ogni esponente, basta aggiungere gli esponenti durante la moltiplicazione e la sottrazione durante la divisione per risparmiare tempo. Questo concetto può essere utilizzato anche per semplificare le espressioni variabili.

• Ad esempio, usiamo l'espressione 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/X¹⁵). In ogni caso in cui è richiesta la moltiplicazione o la divisione degli esponenti, sottrarremo o aggiungeremo rispettivamente gli esponenti per trovare rapidamente il termine semplice. Vedere quanto segue:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/X¹⁵)
  • (6 × 8)x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Per una spiegazione di come funziona, vedere di seguito:

  • Moltiplicare i termini negli esponenti è in realtà come moltiplicare i termini non negli esponenti lunghi. Ad esempio, poiché x³ = x × x × x e x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x⁸.
  • Quasi lo stesso, dividere gli esponenti è come dividere i termini, non gli esponenti lunghi. X⁵/X³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Poiché ogni termine al numeratore può essere cancellato trovando lo stesso termine al denominatore, al numeratore sono rimaste solo due x e non è rimasto nulla in fondo, dando la risposta x².

Suggerimenti

• Ricorda sempre che devi immaginare questi numeri con segni positivi e negativi. Molte persone si fermano a pensare a quale segno dovrei mettere qui?
• Chiedi aiuto se ne hai bisogno!
• Semplificare le espressioni algebriche non è facile, ma una volta compreso, lo userai per il resto della tua vita.

Avvertimento

• Cerca sempre tribù simili e non lasciarti ingannare dal rango.
• Assicurati di non aggiungere numeri, poteri o operazioni che non dovrebbero essere eseguite inavvertitamente.