La forma radice è un'affermazione algebrica che ha il segno della radice quadrata (o radice cubica o superiore). Questa forma può spesso rappresentare due numeri che hanno lo stesso valore anche se a prima vista possono apparire diversi (ad esempio, 1/(sqrt(2) - 1) = sqrt(2)+1). Pertanto, abbiamo bisogno di una "formula standard" per questo tipo di modulo. Se ci sono due affermazioni, entrambe nella formula standard, che appaiono diverse, non sono le stesse. I matematici concordano sul fatto che la formulazione standard della forma quadratica soddisfa i seguenti requisiti:
- Evita di usare le frazioni
- Non usare potenze frazionarie
- Evita di usare la radice al denominatore
- Non contiene la moltiplicazione di due forme radice
- I numeri sotto la radice non possono più essere radicati
Un uso pratico di questo è negli esami a scelta multipla. Quando trovi una risposta, ma la tua risposta non è la stessa delle opzioni disponibili, prova a semplificarla in una formula standard. Dal momento che gli autori delle domande di solito scrivono le risposte in formule standard, fai lo stesso con le tue risposte per abbinare le loro. Nelle domande del saggio, comandi come "semplifica la tua risposta" o "semplifica tutte le radici" significano che gli studenti devono eseguire i passaggi seguenti fino a quando non soddisfano la formula standard come sopra. Questo passaggio può essere utilizzato anche per risolvere equazioni, sebbene alcuni tipi di equazioni siano più facili da risolvere in formule non standard.
Fare un passo
Passaggio 1. Se necessario, rivedere le regole per operare radici ed esponenti (entrambi sono uguali - le radici sono potenze di frazioni) poiché ne abbiamo bisogno in questo processo
Rivedere anche le regole per semplificare i polinomi e le forme razionali poiché avremo bisogno di semplificarli.
Metodo 1 di 6: quadrati perfetti
Passaggio 1. Semplifica tutte le radici contenenti quadrati perfetti
Un quadrato perfetto è il prodotto di un numero da solo, ad esempio 81, che è un prodotto di 9 x 9. Per semplificare un quadrato perfetto, basta rimuovere la radice quadrata e annotare la radice quadrata del numero.
- Ad esempio, 121 è un quadrato perfetto perché 11 x 11 è uguale a 121. Quindi, puoi semplificare la radice (121) a 11, rimuovendo il segno della radice.
- Per semplificare questo passaggio, dovrai ricordare i primi dodici quadrati perfetti: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Passaggio 2. Semplifica tutte le radici contenenti cubi perfetti
Un cubo perfetto è il prodotto della moltiplicazione di un numero per se stesso due volte, ad esempio 27, che è il prodotto di 3 x 3 x 3. Per semplificare la forma della radice di un cubo perfetto, basta rimuovere la radice quadrata e annotare la radice quadrata del numero.
Ad esempio, 343 è un cubo perfetto perché è il prodotto di 7 x 7 x 7. Quindi la radice cubica di 343 è 7
Metodo 2 di 6: conversione di frazioni in radici
O cambiando il contrario (a volte aiuta), ma non mescolarli nella stessa istruzione di root(5) + 5^(3/2). Supponiamo che tu voglia usare la forma radice e useremo i simboli root(n) per la radice quadrata e sqrt^3(n) per la radice cubica.
Passaggio 1. Prendi uno alla potenza della frazione e convertilo nella forma radice, ad esempio x^(a/b) = radice nella potenza b di x^a
Se la radice quadrata è in forma frazionaria, convertila in forma regolare. Ad esempio, radice quadrata (2/3) di 4 = radice(4)^3 = 2^3 = 8
Passaggio 2. Converti gli esponenti negativi in frazioni, ad esempio x^-y = 1/x^y
Questa formula si applica solo agli esponenti costanti e razionali. Se hai a che fare con una forma come 2^x, non cambiarla, anche se il problema indica che x può essere una frazione o un numero negativo
Passaggio 3. Unisci la stessa tribù e semplificare la forma razionale risultante.
Metodo 3 di 6: eliminare le frazioni nelle radici
La formula standard richiede che la radice sia un numero intero.
Passaggio 1. Guarda il numero sotto la radice quadrata se contiene ancora una frazione
Se ancora,…
Passaggio 2. Passare a una frazione costituita da due radici utilizzando l'identità root(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)
Non utilizzare questa identità se il denominatore è negativo o se è una variabile che potrebbe essere negativa. In questo caso, semplifica prima la frazione
Passaggio 3. Semplifica ogni quadrato perfetto del risultato
Cioè, converti sqrt(5/4) in sqrt(5)/sqrt(4), quindi semplifica in sqrt(5)/2.
Passaggio 4. Utilizzare altri metodi di semplificazione come la semplificazione di frazioni complesse, la combinazione di termini uguali, ecc
Metodo 4 di 6: combinazione delle radici di moltiplicazione
Passaggio 1. Se stai moltiplicando una radice per un'altra, combina le due in una radice quadrata usando la formula:
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab). Ad esempio, cambia root(2)*root(6) in root(12).
- L'identità sopra, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab), è valida se il numero sotto il segno di sqrt non è negativo. Non usare questa formula quando aeb sono negativi perché commetterai l'errore di fare sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1). L'istruzione a sinistra è uguale a -1 (o indefinita se non si utilizzano numeri complessi) mentre l'istruzione a destra è +1. Se a e/ob sono negativi, prima "cambiare" il segno come sqrt(-5) = i*sqrt(5). Se la forma sotto il segno della radice è una variabile il cui segno è sconosciuto dal contesto o può essere positivo o negativo, lascialo così com'è per il momento. Puoi usare l'identità più generale, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(sgn(a))*sqrt(sgn(b))*sqrt(|ab|) che si applica a tutti i numeri reali a e b, ma di solito questa formula non aiuta molto perché aggiunge complessità all'uso della funzione sgn (signum).
- Questa identità è valida solo se le forme delle radici hanno lo stesso esponente. Puoi moltiplicare radici quadrate diverse come sqrt(5)*sqrt^3(7) convertendole nella stessa radice quadrata. Per fare ciò, converti temporaneamente la radice quadrata in una frazione: sqrt(5)*sqrt^3(7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Quindi usa la regola della moltiplicazione per moltiplicare i due per la radice quadrata di 6125.
Metodo 5 di 6: rimozione del fattore quadrato dalla radice
Passaggio 1. Scomporre le radici imperfette in fattori primi
Un fattore è un numero che moltiplicato per un altro numero forma un numero, ad esempio 5 e 4 sono due fattori di 20. Per scomporre le radici imperfette, scrivi tutti i fattori del numero (o il maggior numero possibile, se il numero è troppo grande) finché non trovi un quadrato perfetto.
Ad esempio, prova a trovare tutti i fattori di 45: 1, 3, 5, 9, 15 e 45. 9 è un fattore di 45 ed è anche un quadrato perfetto (9=3^2). 9 x 5 = 45
Passaggio 2. Rimuovere tutti i moltiplicatori che sono quadrati perfetti all'interno della radice quadrata
9 è un quadrato perfetto perché è il prodotto di 3 x 3. Prendi il 9 dalla radice quadrata e sostituiscilo con 3 davanti alla radice quadrata, lasciando 5 all'interno della radice quadrata. Se "rimetti" 3 nella radice quadrata, moltiplica per se stesso per ottenere 9 e se moltiplichi per 5 restituisce 45. 3 radici di 5 è un modo semplice per esprimere la radice di 45.
Cioè, sqrt(45) = sqrt(9*5) = sqrt(9)*sqrt(5) = 3*sqrt(5)
Passaggio 3. Trova il quadrato perfetto nella variabile
La radice quadrata di un quadrato è |a|. Puoi semplificare questo solo in "a" se la variabile nota è positiva. La radice quadrata di a alla potenza di 3 se scomposta alla radice quadrata di a al quadrato per a -- ricorda che gli esponenti si sommano quando moltiplichiamo due numeri per la potenza di a, quindi a per a quadrato è uguale a a terza potenza.
Pertanto, un quadrato perfetto nella forma a cubo è un quadrato
Passaggio 4. Rimuovere la variabile contenente il quadrato perfetto dalla radice quadrata
Ora, prendi un quadrato dalla radice quadrata e cambialo in |a|. La forma semplice della radice a alla potenza di 3 è |a| radice a.
Passaggio 5. Combina i termini uguali e semplifica tutte le radici dei risultati del calcolo
Metodo 6 di 6: razionalizzare il denominatore
Passaggio 1. La formula standard richiede che il denominatore sia il più possibile un intero (o un polinomio se contiene una variabile)
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Se il denominatore è costituito da un termine sotto il segno della radice, come […]/root(5), moltiplica sia il numeratore che il denominatore per quella radice per ottenere […]*sqrt(5)/sqrt(5)*sqrt (5) = […]*radice(5)/5.
Per radici cubiche o superiori, moltiplica per la radice appropriata in modo che il denominatore sia razionale. Se il denominatore è root^3(5), moltiplica il numeratore e il denominatore per sqrt^3(5)^2
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Se il denominatore consiste nell'addizione o sottrazione di due radici quadrate come sqrt(2) + sqrt(6), moltiplica il quantificatore e il denominatore per il loro coniugato, che è la stessa forma ma con il segno opposto. Allora […]/(root(2) + root(6)) = […](root(2)-root(6))/(root(2) + root(6))(root(2)-root (6)). Quindi usa la formula di identità per la differenza di due quadrati [(a+b)(ab) = a^2-b^2] per razionalizzare il denominatore, per semplificare (sqrt(2) + sqrt(6))(sqrt(2)-sqrt(6)) = sqrt(2)^2 - sqrt(6)^2 = 2-6 = -4.
- Questo vale anche per denominatori come 5 + sqrt(3) perché tutti gli interi sono radici di altri interi. [1/(5 + sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5 + sqrt(3))(5-sqrt(3)) = (5-sqrt(3))/(5^ 2-quadrato(3)^2) = (5-quadrato(3))/(25-3) = (5-quadrato(3))/22]
- Questo metodo si applica anche all'aggiunta di radici come sqrt(5)-sqrt(6)+sqrt(7). Se li raggruppi in (sqrt(5)-sqrt(6))+sqrt(7) e moltiplichi per (sqrt(5)-sqrt(6))-sqrt(7), la risposta non è in forma razionale, ma ancora in a+b*root(30) dove aeb sono già numeri razionali. Quindi ripetere il processo con i coniugati a+b*sqrt(30) e (a+b*sqrt(30))(a-b*sqrt(30)) sarà razionale. In sostanza, se puoi usare questo trucco per rimuovere un segno di radice nel denominatore, puoi ripeterlo molte volte per rimuovere tutte le radici.
- Questo metodo può essere utilizzato anche per denominatori che contengono una radice più alta, come la quarta radice di 3 o la settima radice di 9. Moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore. Sfortunatamente, non possiamo ottenere direttamente il coniugato del denominatore ed è difficile farlo. Possiamo trovare la risposta in un libro di algebra sulla teoria dei numeri, ma non entrerò in questo.
Passaggio 2. Ora il denominatore è in forma razionale, ma il numeratore sembra un disastro
Ora tutto ciò che devi fare è moltiplicarlo per il coniugato del denominatore. Procedi e moltiplica come moltiplicheremmo i polinomi. Verificare se è possibile omettere, semplificare o combinare alcuni termini, se possibile.
Passaggio 3. Se il denominatore è un numero intero negativo, moltiplica sia il numeratore che il denominatore per -1 per renderlo positivo
Suggerimenti
- Puoi cercare online siti che possono aiutare a semplificare i moduli radice. Basta digitare l'equazione con il segno di radice e dopo aver premuto Invio, apparirà la risposta.
- Per domande più semplici, potresti non utilizzare tutti i passaggi in questo articolo. Per domande più complesse, potrebbe essere necessario eseguire più passaggi più di una volta. Usa i passaggi "semplici" alcune volte e controlla se la tua risposta si adatta ai criteri di formulazione standard che abbiamo discusso in precedenza. Se la tua risposta è nella formula standard, hai finito; ma in caso contrario, puoi controllare uno dei passaggi precedenti per aiutarti a farlo.
- La maggior parte dei riferimenti alla "formula standard consigliata" per la forma delle radici si applica anche ai numeri complessi (i = radice(-1)). Anche se un'istruzione contiene una "i" invece di una radice, evita il più possibile i denominatori che contengono ancora una i.
- Alcune delle istruzioni in questo articolo presuppongono che tutte le radici siano quadrati. Gli stessi principi generali si applicano alle radici dei poteri superiori, sebbene alcune parti (specialmente razionalizzando il denominatore) possano essere piuttosto difficili da lavorare. Decidi tu stesso quale forma vuoi, ad esempio sqr^3(4) o sqr^3(2)^2. (Non ricordo quale forma viene solitamente suggerita nei libri di testo).
- Alcune delle istruzioni in questo articolo utilizzano la parola "formula standard" per descrivere la "forma normale". La differenza è che la formula standard accetta solo la forma 1+sqrt(2) o sqrt(2)+1 e considera le altre forme come non standard; La forma semplice presuppone che tu, il lettore, sia abbastanza intelligente da vedere la "somiglianza" di questi due numeri anche se non sono identici per iscritto ("stesso" significa nella loro proprietà aritmetica (addizione commutativa), non la loro proprietà algebrica (radice (2) è la radice non negativa di x^2-2)). Ci auguriamo che i lettori capiscano la leggera negligenza nell'uso di questa terminologia.
- Se uno qualsiasi degli indizi sembra ambiguo o contraddittorio, esegui tutti i passaggi che non siano ambigui e coerenti, quindi scegli la forma che preferisci.
