Esistono diverse funzioni matematiche che utilizzano i vertici. Una figura geometrica ha diversi vertici, un sistema di disuguaglianze ha uno o più vertici e anche una parabola o un'equazione quadratica ha vertici. Come trovare i vertici dipende dalla situazione, ma qui ci sono alcune cose che dovresti sapere sulla ricerca dei vertici in ogni scenario.
Fare un passo
Metodo 1 di 5: trovare il numero di vertici in una forma
Passaggio 1. Impara la formula di Eulero
La formula di Eulero, a cui si fa riferimento nella geometria o nei grafici, afferma che per qualsiasi forma non tangente a se stessa, il numero di spigoli più il numero di vertici, meno il numero di spigoli, sarà sempre uguale a due.
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Se scritta sotto forma di equazione, la formula si presenta così: FA + V - MI = 2
- F si riferisce al numero di lati.
- V si riferisce al numero di vertici, o vertici
- E si riferisce al numero di nervature
Passaggio 2. Modificare la formula per trovare il numero di vertici
Se conosci il numero di lati e bordi di una forma, puoi calcolare rapidamente il numero di vertici usando la formula di Eulero. Sottrai F da entrambi i lati dell'equazione e aggiungi E su entrambi i lati, lasciando V su un lato.
V = 2 - FA + MI
Passaggio 3. Immettere i numeri noti e risolvere
Tutto quello che devi fare a questo punto è inserire il numero di lati e bordi nell'equazione prima di aggiungere o sottrarre normalmente. La risposta che ottieni è il numero di vertici e quindi risolve il problema.
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Esempio: per un rettangolo con 6 lati e 12 bordi…
- V = 2 - FA + MI
- V = 2 - 6 + 12
- V = -4 + 12
- V = 8
Metodo 2 di 5: trovare i vertici in un sistema di disuguaglianza lineare
Passaggio 1. Disegna la soluzione del sistema di disequazioni lineari
In alcuni casi, disegnare soluzioni di tutte le disuguaglianze nel sistema può mostrare visivamente alcuni o anche tutti i vertici. Tuttavia, se non puoi, devi trovare il vertice algebricamente.
Se stai usando una calcolatrice grafica per disegnare la disuguaglianza, puoi scorrere verso l'alto sullo schermo fino al punto del vertice e trovare le sue coordinate in questo modo
Passaggio 2. Trasforma la disuguaglianza in un'equazione
Per risolvere un sistema di disequazioni, è necessario convertire temporaneamente le disequazioni in equazioni per trovare il valore di X e sì.
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Esempio: per un sistema di disuguaglianze:
- y < x
- y > -x + 4
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Cambia la disuguaglianza in:
- y = x
- y > -x + 4
Passaggio 3. Sostituzione di una variabile con un'altra variabile
Sebbene ci siano altri modi per risolvere X e sì, la sostituzione è spesso il modo più semplice. Inserisci il valore sì da un'equazione all'altra, che significa "sostituendo" sì in un'altra equazione con il valore di X.
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Esempio: se:
- y = x
- y = -x + 4
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Così y = -x + 4 può essere scritto come:
x = -x + 4
Passaggio 4. Risolvi per la prima variabile
Ora che hai solo una variabile nell'equazione, puoi facilmente risolvere per la variabile, X, come in altre equazioni: sommando, sottraendo, dividendo e moltiplicando.
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Esempio: x = -x + 4
- x + x = -x + x + 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4 / 2
- x = 2
Passaggio 5. Risolvi per le variabili rimanenti
Inserisci un nuovo valore per X nell'equazione originale per trovare il valore di sì.
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Esempio: y = x
y = 2
Passaggio 6. Definire i vertici
Il vertice è la coordinata che contiene il valore X e sì che hai appena scoperto.
Esempio: (2, 2)
Metodo 3 di 5: trovare il vertice su una parabola usando l'asse di simmetria
Passaggio 1. Fattorizzare l'equazione
Riscrivi l'equazione quadratica in forma fattoriale. Ci sono diversi modi per fattorizzare un'equazione quadratica, ma quando hai finito, avrai due gruppi tra parentesi, che quando li moltiplichi insieme, otterrai l'equazione originale.
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Esempio: (usando l'analisi)
- 3x2 - 6x - 45
- Emette lo stesso fattore: 3 (x2 - 2x - 15)
- Coefficienti di moltiplicazione a e c: 1 * -15 = -15
- Trova due numeri che moltiplicati sono pari a -15 e la cui somma è uguale al valore b, -2; 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
- Sostituisci i due valori nell'equazione 'ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x - 5x - 15)
- Fattorizzazione per raggruppamento: f(x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
Passaggio 2. Trova l'intercetta x dell'equazione
Quando la funzione x, f(x), è uguale a 0, la parabola interseca l'asse x. Ciò accadrà quando qualsiasi fattore è uguale a 0.
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Esempio: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- +3 = 0
- - 5 = 0
- = -3; = 5
- Quindi, le radici sono: (-3, 0) e (5, 0)
Passaggio 3. Trova il punto medio
L'asse di simmetria dell'equazione si troverà esattamente a metà strada tra le due radici dell'equazione. Devi conoscere l'asse di simmetria perché i vertici giacciono lì.
Esempio: x = 1; questo valore è esattamente a metà tra -3 e 5
Passaggio 4. Inserisci il valore di x nell'equazione originale
Sostituisci il valore x dell'asse di simmetria nell'equazione della parabola. Il valore y sarà il valore y del vertice.
Esempio: y = 3x2 - 6x - 45 = 3(1)2 - 6(1) - 45 = -48
Passaggio 5. Annotare i punti dei vertici
Fino a questo punto, gli ultimi valori calcolati di x e y daranno le coordinate del vertice.
Esempio: (1, -48)
Metodo 4 di 5: trovare il vertice su una parabola completando i quadrati
Passaggio 1. Riscrivi l'equazione originale in forma di vertice
La forma "vertice" è un'equazione scritta nella forma y = a(x - h)^2 + k, e il punto del vertice è (HK). L'equazione quadratica originale deve essere riscritta in questa forma e, per questo, è necessario completare il quadrato.
Esempio: y = -x^2 - 8x - 15
Passaggio 2. Ottieni il coefficiente a
Rimuovere il primo coefficiente, a dai primi due coefficienti dell'equazione. Lasciare l'ultimo coefficiente c a questo punto.
Esempio: -1 (x^2 + 8x) - 15
Passaggio 3. Trova la terza costante tra parentesi
La terza costante deve essere racchiusa tra parentesi in modo che i valori tra parentesi formino un quadrato perfetto. Questa nuova costante è uguale al quadrato del mezzo coefficiente nel mezzo.
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Esempio: 8 / 2 = 4; 4 * 4 = 16; affinché,
- -1(x^2 + 8x + 16)
- Ricorda che le lavorazioni eseguite all'interno delle parentesi devono essere eseguite anche all'esterno delle parentesi:
- y = -1(x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
Passaggio 4. Semplifica l'equazione
Poiché la forma all'interno delle parentesi ora è un quadrato perfetto, puoi semplificare la forma all'interno delle parentesi in una forma fattorizzata. Contemporaneamente, puoi aggiungere o sottrarre valori al di fuori delle parentesi.
Esempio: y = -1(x + 4)^2 + 1
Passaggio 5. Trova le coordinate in base all'equazione del vertice
Ricordiamo che la forma del vertice dell'equazione è y = a(x - h)^2 + k, insieme a (HK) che sono le coordinate del vertice. Ora hai le informazioni complete per inserire i valori in h e k e risolvere il problema.
- k = 1
- h = -4
- Quindi, il vertice dell'equazione può essere trovato in: (-4, 1)
Metodo 5 di 5: trovare il vertice su una parabola usando una formula semplice
Passaggio 1. Trova direttamente il valore x del vertice
Quando l'equazione della parabola è scritta nella forma y = ax^2 + bx + c, x del vertice si trova con la formula x = -b / 2a. Basta inserire i valori aeb dall'equazione nella formula per trovare x.
- Esempio: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b / 2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- x = -4
Passaggio 2. Inserisci questo valore nell'equazione originale
Inserendo il valore di x nell'equazione, puoi trovare y. Il valore y sarà il valore y delle coordinate del vertice.
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Esempio: y = -x^2 - 8x - 15 = -(-4)^2 - 8(-4) - 15 = -(16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
y = 1
Passaggio 3. Annotare le coordinate dei vertici
I valori x e y che ottieni sono le coordinate del punto del vertice.
