Due frazioni sono equivalenti se hanno lo stesso valore. Saper convertire le frazioni nelle loro forme equivalenti è un'abilità matematica estremamente importante, richiesta per tutte le forme di matematica, dall'algebra di base al calcolo avanzato. Questo articolo fornirà diversi modi per calcolare frazioni equivalenti dalla moltiplicazione e divisione di base a modi più complessi per risolvere equazioni frazionarie equivalenti.
Fare un passo
Metodo 1 di 5: disposizione delle frazioni equivalenti
Passaggio 1. Moltiplica il numeratore e il denominatore per lo stesso numero
Due frazioni diverse ma equivalenti hanno, per definizione, numeratore e denominatore multipli l'uno dell'altro. In altre parole, moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero si otterranno frazioni equivalenti. Sebbene i numeri nella nuova frazione saranno diversi, le frazioni avranno lo stesso valore.
- Ad esempio, se prendiamo la frazione 4/8 e moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2, otteniamo (4×2)/(8×2) = 8/16. Queste due frazioni sono equivalenti.
- (4×2)/(8×2) è in realtà lo stesso di 4/8×2/2. Ricorda che quando moltiplichiamo due frazioni, stiamo moltiplicando dritto, cioè il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore.
- Nota che 2/2 è uguale a 1 se fai la divisione. Quindi, è più facile capire perché 4/8 e 8/16 sono equivalenti perché moltiplicando 4/8 × (2/2) = rimane 4/8. Allo stesso modo, è come dire 4/8 = 8/16.
- Ogni frazione data ha un numero infinito di frazioni equivalenti. Puoi moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per qualsiasi numero intero, indipendentemente dalle dimensioni o piccolo, per ottenere una frazione equivalente.
Passaggio 2. Dividi numeratore e denominatore per lo stesso numero
Come la moltiplicazione, anche la divisione può essere utilizzata per trovare una nuova frazione equivalente alla frazione originale. Basta dividere numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero per ottenere la frazione equivalente. C'è uno svantaggio in questo processo: la frazione finale deve avere numeri interi sia nel numeratore che nel denominatore per essere vera.
Ad esempio, torniamo a 4/8. Se, invece di moltiplicare, dividiamo sia il numeratore che il denominatore per 2, otteniamo (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 e 4 sono numeri interi, quindi queste frazioni equivalenti sono vere
Metodo 2 di 5: Utilizzo della moltiplicazione di base per determinare l'uguaglianza
Passaggio 1. Trova il numero che deve essere moltiplicato per il denominatore più piccolo per ottenere il denominatore più grande
Molti problemi sulle frazioni implicano determinare se due frazioni sono equivalenti. Calcolando questo numero, puoi iniziare a eguagliare i termini frazionari per determinare l'uguaglianza.
- Ad esempio, riutilizza le frazioni 4/8 e 8/16. Il denominatore più piccolo è 8 e dobbiamo moltiplicare il numero per 2 per ottenere il denominatore più grande, che è 16. Quindi il numero in questo caso è 2.
- Per i numeri più difficili, puoi dividere il denominatore più grande per il denominatore più piccolo. In questo caso, 16 è diviso per 8, che produce comunque 2.
- Il numero non è sempre un numero intero. Ad esempio, se i denominatori sono 2 e 7, il numero è 3, 5.
Passaggio 2. Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione che ha il termine più piccolo per il numero del primo passaggio
Due frazioni diverse ma equivalenti hanno, per definizione, numeratore e denominatore che sono multipli l'uno dell'altro. In altre parole, moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero si otterrà una frazione equivalente. Sebbene i numeri in questa nuova frazione saranno diversi, queste frazioni avranno lo stesso valore.
Ad esempio, se usiamo la frazione 4/8 del passaggio uno e moltiplichiamo numeratore e denominatore per il numero definito in precedenza, che è 2, otteniamo (4×2)/(8×2) = 8/16. Questo risultato dimostra che queste due frazioni sono equivalenti.
Metodo 3 di 5: utilizzo della divisione di base per determinare l'uguaglianza
Passaggio 1. Conta ogni frazione come numero decimale
Per le frazioni semplici senza variabili, puoi rappresentare ogni frazione come numero decimale per determinare l'uguaglianza. Poiché ogni frazione è in realtà un problema di divisione, questo è il modo più semplice per determinare l'uguaglianza.
- Ad esempio, usa la frazione che abbiamo usato prima, 4/8. La frazione 4/8 equivale a dire 4 diviso 8, che è 4/8 = 0,5. Puoi anche risolvere l'altro esempio, che è 8/16 = 0,5. Indipendentemente dai termini in una frazione, la frazione è equivalente se entrambi i numeri sono uguali quando rappresentati in decimale.
- Tieni presente che le espressioni decimali possono avere più cifre prima che l'uguaglianza sia ovvia. Come esempio di base, 1/3 = 0,333 si ripete mentre 3/10 = 0,3 Usando più di una cifra, vediamo che queste due frazioni non sono equivalenti.
Passaggio 2. Dividi il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero per ottenere una frazione equivalente
Per frazioni più complesse, il metodo di divisione richiede passaggi aggiuntivi. Mentre con la moltiplicazione, puoi dividere numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero per ottenere una frazione equivalente. C'è uno svantaggio in questo processo. La frazione finale deve avere numeri interi sia al numeratore che al denominatore per essere vera.
Ad esempio, torniamo a 4/8. Se, invece di moltiplicare, dividiamo numeratore e denominatore per 2, otteniamo (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 e 4 sono numeri interi, quindi queste frazioni equivalenti sono vere.
Passaggio 3. Semplifica le frazioni ai loro termini più semplici
La maggior parte delle frazioni viene solitamente scritta nei termini più semplici e puoi convertire le frazioni nella loro forma più semplice dividendo per il massimo comun divisore (GCF). Questo passaggio viene eseguito con la stessa logica della scrittura di frazioni equivalenti, convertendole allo stesso denominatore, ma questo metodo tenta di semplificare ogni frazione nei termini più piccoli possibili.
- Quando una frazione è nella sua forma più semplice, numeratore e denominatore hanno i valori più piccoli possibili. Entrambi non possono essere divisi per nessun numero intero per ottenere il valore più piccolo. Per convertire una frazione che non è nella sua forma più semplice nella sua forma equivalente più semplice, dividiamo numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore.
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Il massimo comun divisore (GCF) del numeratore e del denominatore è il numero più grande che li divide per dare un risultato intero. Quindi, nel nostro esempio 4/8, perché
Passaggio 4. è il numero più grande divisibile per 4 e 8, divideremo numeratore e denominatore della nostra frazione per 4 per ottenere i termini più semplici. (4 4)/(8 4) = 1/2. Per il nostro altro esempio, 8/16, il GCF è 8, che restituisce anche il valore 1/2 come l'espressione più semplice di una frazione.
Metodo 4 di 5: utilizzo di prodotti incrociati per trovare variabili
Passaggio 1. Disporre le due frazioni in modo che siano uguali tra loro
Usiamo la moltiplicazione incrociata per problemi di matematica in cui sappiamo che le frazioni sono equivalenti, ma uno dei numeri è stato sostituito da una variabile (di solito x) che dobbiamo risolvere. In casi come questo, sappiamo che queste frazioni sono equivalenti perché sono gli unici termini dall'altra parte del segno di uguale, ma spesso il modo per trovare la variabile non è ovvio. Fortunatamente, con la moltiplicazione incrociata, risolvere questo tipo di problemi è facile.
Passaggio 2. Prendi due frazioni equivalenti e moltiplicale per una "X"
In altre parole, moltiplichi il numeratore di una frazione per il denominatore di un'altra frazione e viceversa, quindi disponi le due risposte in modo che coincidano e risolvi.
Prendi i nostri due esempi, 4/8 e 8/16. Nessuno dei due ha una variabile, ma possiamo dimostrare il concetto perché sappiamo già che sono equivalenti. Moltiplicando incrociato, otteniamo 4/16 = 8 x 8, o 64 = 64, che è vero. Se questi due numeri non sono uguali, le frazioni non sono equivalenti
Passaggio 3. Aggiungi variabili
Poiché la moltiplicazione incrociata è il modo più semplice per determinare le frazioni equivalenti quando devi trovare le variabili, aggiungiamo le variabili.
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Ad esempio, usiamo l'equazione 2/x = 10/13. Per moltiplicare incrociato, moltiplichiamo 2 per 13 e 10 per x, quindi impostiamo le nostre risposte uguali tra loro:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Da qui, trovare la risposta alla nostra variabile è un semplice problema di algebra. x = 26/10 = 2, 6, rendendo la frazione equivalente iniziale 2/2, 6 = 10/13.
Passaggio 4. Utilizzare la moltiplicazione incrociata per frazioni a più variabili o espressioni variabili
Una delle cose migliori della moltiplicazione incrociata è che in realtà funziona allo stesso modo, sia che tu stia lavorando con due frazioni semplici (come sopra) o con frazioni più complesse. Ad esempio, se entrambe le frazioni hanno variabili, devi solo eliminare queste variabili nel processo di risoluzione. Allo stesso modo, se il numeratore o il denominatore della tua frazione ha un'espressione variabile (come x + 1), semplicemente "moltiplicala" usando la proprietà distributiva e risolvi come al solito.
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Ad esempio, usiamo l'equazione ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). In questo caso, come sopra, lo risolveremo per prodotto incrociato:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, allora possiamo semplificare la frazione sottraendo 2x da entrambi i membri
- 2 = 2x + 12, quindi isoliamo la variabile sottraendo 12 da entrambi i lati
- -10 = 2x e dividi per 2 per trovare x
- - 5 = x
Metodo 5 di 5: utilizzo di formule quadratiche per trovare variabili
Passaggio 1. Incrocia le due frazioni
Per i problemi di uguaglianza che richiedono una formula quadratica, iniziamo ancora utilizzando il prodotto incrociato. Tuttavia, è probabile che qualsiasi prodotto incrociato che implichi la moltiplicazione dei termini di una variabile per i termini di un'altra variabile risulti in un'espressione che non può essere facilmente risolta utilizzando l'algebra. In casi come questi, potrebbe essere necessario utilizzare tecniche come fattorizzazione e/o formule quadratiche.
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Ad esempio, diamo un'occhiata all'equazione ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Innanzitutto, incrociamo la moltiplicazione:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Passaggio 2. Scrivi l'equazione come un'equazione quadratica
In questa sezione, vogliamo scrivere questa equazione in forma quadratica (ax2 + bx + c = 0), che facciamo ponendo l'equazione uguale a zero. In questo caso, sottraiamo 12 da entrambi i lati per ottenere 2x2 - 14 = 0.
Alcuni valori possono essere uguali a 0. Anche se 2x2 - 14 = 0 è la forma più semplice della nostra equazione, la vera equazione quadratica è 2x2 + 0x + (-14) = 0. Può essere utile all'inizio annotare la forma dell'equazione quadratica anche se alcuni valori sono uguali a 0.
Passaggio 3. Risolvi inserendo i numeri della tua equazione quadratica nella formula quadratica
Formula quadratica (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) ci aiuterà a trovare il nostro valore x in questa sezione. Non aver paura della lunghezza della formula. Prendi i valori dalla tua equazione quadratica nel passaggio due e li metti nei posti giusti prima di risolverli.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. Nella nostra equazione, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 e c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2(2)
- x = (+/- (112))/2(2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Passaggio 4. Controlla la tua risposta inserendo nuovamente il valore di x nella tua equazione quadratica
Ricollegando il valore x calcolato alla tua equazione quadratica dal passaggio due, puoi facilmente determinare se hai risposto correttamente. In questo esempio, inserirai 2, 64 e -2, 64 nell'equazione quadratica originale.
Suggerimenti
- Convertire una frazione nel suo equivalente è in realtà una forma di moltiplicazione di una frazione per 1. Nel convertire 1/2 in 2/4, moltiplicare numeratore e denominatore per 2 equivale a moltiplicare 1/2 per 2/2, che è uguale a 1.
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Se lo desideri, converti il numero misto in una frazione comune per facilitare la conversione. Ovviamente, non tutte le frazioni che incontrerai saranno facili come convertire il nostro esempio 4/8 sopra. Ad esempio, i numeri misti (come 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, ecc.) possono rendere il processo di conversione un po' più complicato. Se devi convertire un numero misto in una frazione comune, puoi farlo in due modi: convertendo il numero misto in una frazione comune, quindi convertendolo come al solito, o mantenendo la forma dei numeri misti e ottenendo risposte sotto forma di numeri misti.
- Per convertire in una frazione comune, moltiplica il componente intero del numero misto per il denominatore del componente frazionario e quindi aggiungi al numeratore. Ad esempio, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Quindi, se lo desideri, puoi modificarlo secondo necessità. Ad esempio, 5/3 × 2/2 = 10/6, che rimane uguale a 1 2/3.
- Tuttavia, non è necessario convertirlo in una frazione comune come sopra. Altrimenti, lasciamo solo il componente intero, cambiamo solo il componente frazionario e aggiungiamo il componente intero invariato. Ad esempio, per 3 4/16, vediamo solo 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Quindi, sommando i nostri componenti interi, otteniamo un nuovo numero misto, 3 1/4.
Avvertimento
- Moltiplicazione e divisione possono essere usate per ottenere frazioni equivalenti perché moltiplicazione e divisione con la forma frazionaria del numero 1 (2/2, 3/3, ecc.) danno una risposta che è equivalente alla frazione originale, per definizione. Non è possibile utilizzare addizioni e sottrazioni.
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Anche se moltiplichi numeratori e denominatori quando moltiplichi le frazioni, non aggiungi o sottrai i denominatori quando aggiungi o sottrai frazioni.
Ad esempio, sopra, sappiamo che 4/8 4/4 = 1/2. Se sommiamo per 4/4, otteniamo una risposta completamente diversa. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 o 3/2, non sono uguali a 4/8.
