Padroneggiare l'algebra è essenziale per continuare in quasi tutti i tipi di matematica, sia alle elementari che alle superiori. Ogni livello di matematica ha una base, quindi ogni livello di matematica è molto importante. Tuttavia, anche le abilità algebriche più elementari possono essere difficili da comprendere per i principianti la prima volta che le incontrano. Se hai problemi con argomenti di algebra di base, non preoccuparti: con una piccola spiegazione in più, alcuni semplici esempi e alcuni suggerimenti per migliorare le tue abilità, risolverai presto problemi di algebra come un professionista.
Fare un passo
Parte 1 di 5: apprendimento delle regole di base dell'algebra
Passaggio 1. Rivedere le operazioni matematiche di base
Per iniziare a imparare l'algebra, dovrai conoscere le abilità matematiche di base come l'aggiunta, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Questa matematica della scuola primaria/elementare è molto importante prima di iniziare a studiare l'algebra. Se non padroneggi queste abilità, sarà difficile completare i concetti più complessi insegnati in algebra. Se hai bisogno di un ripasso per queste operazioni, prova il nostro articolo sulle abilità matematiche di base.
Non devi essere bravo a fare queste operazioni di base nella tua testa per fare problemi di algebra. Molte classi di algebra consentono di utilizzare una calcolatrice per risparmiare tempo durante l'esecuzione di queste semplici operazioni. Tuttavia, dovresti almeno sapere come eseguire queste operazioni senza una calcolatrice quando non sei autorizzato a usare una calcolatrice
Passaggio 2. Conoscere l'ordine delle operazioni
Una delle cose più complicate della risoluzione di equazioni algebriche da principiante è conoscere l'ordine in cui iniziano. Fortunatamente, c'è un certo ordine per risolvere questi problemi: prima, fai qualsiasi operazione matematica tra parentesi, poi fai gli esponenti, poi moltiplica, poi dividi, poi aggiungi e infine sottrai. Un utile mezzo per ricordare l'ordine di queste operazioni sono gli acronimi KPKBJK. Scopri come applicare l'ordine delle operazioni qui. Riassumendo, l'ordine delle operazioni è:
- Kfallire
- Pascensore/esponente
- Kali
- Bancora
- Jumlah
- Kgamberetto
-
L'ordine delle operazioni è importante in algebra perché eseguire le operazioni in un problema di algebra nell'ordine sbagliato può a volte influenzare la risposta. Ad esempio, se eseguiamo il problema di matematica 8 + 2 × 5, se aggiungiamo prima 2 e 8, otteniamo 10 × 5 = 50, ma se moltiplichiamo prima 2 e 5, otteniamo 8 + 10 =
Passaggio 18.. Solo la seconda risposta è corretta.
Passaggio 3. Impara a usare i numeri negativi
In algebra, l'uso di numeri negativi è molto comune. Quindi è una buona idea rivedere come sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere i numeri negativi prima di iniziare a imparare l'algebra. Ecco alcune nozioni di base sui numeri negativi da ricordare: per ulteriori informazioni, consulta i nostri articoli sull'aggiunta e la sottrazione di numeri negativi e sulla divisione e moltiplicazione di numeri negativi.
- Su una retta numerica, la versione negativa di un numero è alla stessa distanza da zero del numero positivo da zero, ma nella direzione opposta.
- L'aggiunta di due numeri negativi rende il numero ancora più negativo (in altre parole, la cifra sarà più grande, ma poiché il numero è negativo, il valore sarà più piccolo)
- Due segni negativi si annullano a vicenda: sottrarre un numero negativo equivale ad aggiungere un numero positivo
- Moltiplicando o dividendo due numeri negativi si ottiene una risposta positiva.
- Moltiplicando o dividendo un numero positivo e un numero negativo si ottiene una risposta negativa.
Passaggio 4. Sapere come strutturare domande lunghe
Mentre semplici problemi di algebra possono essere risolti facilmente, problemi più complessi possono richiedere molti passaggi. Per evitare errori, mantieni il tuo lavoro organizzato iniziando una nuova riga ogni volta che fai un passo per completare il tuo problema. Se stai lavorando con un'equazione a due facce, prova a scrivere tutti i segni di uguale ("=") sotto gli altri segni di uguale. In questo modo, se commetti un errore da qualche parte, sarà più facile trovarlo e correggerlo.
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Ad esempio, per risolvere l'equazione 9/3 - 5 + 3 × 4, potremmo essere in grado di strutturare il nostro problema in questo modo:
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- 9/3 - 5 + 3 × 4
- 9/3 - 5 + 12
- 3 - 5 + 12
- 3 + 7
- Passaggio 10.
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Parte 2 di 5: Comprensione delle variabili
Passaggio 1. Cerca simboli che non siano numeri
In algebra, inizierai a vedere lettere e simboli apparire nei tuoi problemi di matematica, non solo numeri. Queste lettere e simboli sono chiamati variabili. Le variabili non sono così confuse come potrebbero sembrare a prima vista: sono solo un modo per scrivere numeri con valori sconosciuti. Di seguito sono riportati solo alcuni esempi comuni di variabili in algebra:
- Lettere come x, y, z, a, b e c
- Lettere greche come theta o
- Nota che non tutti i simboli sono variabili sconosciute. Ad esempio, pi greco o, è sempre uguale a circa 3,1459.
Passaggio 2. Pensa alle variabili come numeri "sconosciuti"
Come accennato in precedenza, le variabili sono fondamentalmente solo numeri con valori sconosciuti. Di solito, il tuo obiettivo nei problemi di algebra è scoprire il valore di una variabile - pensa alla variabile come al "numero misterioso" che stai cercando di trovare.
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Ad esempio, nell'equazione 2x + 3 = 11, x è la nostra variabile. Ciò significa che ci sono diversi valori che prendono il posto di x per rendere il lato sinistro dell'equazione uguale a 11. Poiché 2 × 4 + 3 = 11, in questo caso, x =
Passaggio 4..
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Un modo semplice per iniziare a comprendere le variabili è sostituirle con punti interrogativi nei problemi di algebra. Ad esempio, possiamo riscrivere l'equazione 2 + 3 + x = 9 in 2 + 3 +?
= 9. Questo ci rende più facile capire le cose che stiamo cercando di fare - dobbiamo solo trovare il valore che deve essere aggiunto a 2 + 3 = 5 per ottenere 9. Di nuovo, ovviamente la risposta è
Passaggio 4..
Passaggio 3. Se una variabile si verifica più di una volta, semplificala
Cosa fare se la stessa variabile compare più di una volta in un'equazione? Sebbene questa situazione possa sembrare difficile da risolvere, puoi effettivamente trattare le variabili come faresti con i numeri normali - in altre parole, puoi sommarle, sottrarle e così via, purché combini solo variabili simili. In altre parole, x + x = 2x, ma x + y non è uguale a 2xy.
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Ad esempio, diamo un'occhiata all'equazione 2x + 1x = 9. In questo problema, possiamo aggiungere 2x e 1x per ottenere 3x = 9. Poiché 3 x 3 = 9, sappiamo che x =
Passaggio 3..
- Nota ancora che puoi solo aggiungere le stesse variabili insieme. Nell'equazione 2x + 1y = 9, non possiamo combinare 2x e 1y perché sono variabili diverse.
- Questo vale anche quando una variabile ha un esponente diverso dall'altra variabile. Ad esempio, nell'equazione 2x + 3x2 = 10, non possiamo combinare 2x e 3x2 perché la variabile x ha un diverso esponente. Vedi come aggiungere esponenti per maggiori informazioni.
Parte 3 di 5: Imparare a risolvere le equazioni "negando"
Passaggio 1. Prova a isolare le variabili nelle equazioni algebriche
Risolvere equazioni in algebra di solito significa scoprire il valore della variabile. Le equazioni algebriche sono generalmente composte da numeri e/o variabili su entrambi i lati, in questo modo: x + 2 = 9 × 4. Per trovare il valore della variabile, devi isolare la variabile su un lato del segno di uguale. Qualunque cosa sia rimasta dall'altra parte del segno di uguale è la tua risposta.
Nell'esempio (x + 2 = 9 × 4), per isolare x sul lato sinistro dell'equazione, dobbiamo eliminare "+ 2". Per fare ciò, dobbiamo solo sottrarre 2 da quel lato, lasciandoci con x = 9 × 4. Tuttavia, per mantenere entrambi i lati dell'equazione uguali, dobbiamo anche sottrarre 2 dall'altro lato. Questo ci lascia con x = 9 × 4 – 2. Seguendo l'ordine delle operazioni, prima moltiplichiamo, poi sottraiamo, dando la nostra risposta x = = 36 - 2 = 34.
Passaggio 2. Elimina l'addizione per sottrazione (e viceversa)
Come abbiamo appena visto sopra, isolare x su un lato del segno di uguale di solito significa eliminare i numeri accanto ad esso. Per fare ciò, eseguiamo l'operazione "inversa" su entrambi i lati dell'equazione. Ad esempio, nell'equazione x + 3 = 0, poiché vediamo "+ 3" dopo la nostra x, metteremo "-3" su entrambi i lati. "+3" e "-3", lasciando x da solo e "-3" dall'altra parte del segno di uguale, in questo modo: x = -3.
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In generale, addizione e sottrazione sono come "rovesci": calcola un'operazione per scartare l'altra. Vedi sotto:
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- Per addizione, sottrai. Esempio: x + 9 = 3 → x = 3 - 9
- Per la sottrazione, somma. Esempio: x - 4 = 20 → x = 20 + 4
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Passaggio 3. Elimina la moltiplicazione per divisione (e viceversa)
La moltiplicazione e la divisione sono un po' più difficili da lavorare rispetto all'addizione e alla sottrazione, ma questi calcoli hanno la stessa relazione "inversa". Se vedi "× 3" su un lato, lo negherai dividendo entrambi i lati per 3 e così via.
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Con la moltiplicazione e la divisione, devi eseguire l'operazione inversa per tutti i numeri che si trovano dall'altra parte del segno di uguale, anche se quel lato contiene più di un numero. Vedi sotto:
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- Per la moltiplicazione, dividi. Esempio: 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2) /6
- Per la divisione, moltiplica. Esempio: x/5 = 25 → x = 25 × 5
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Passaggio 4. Rimuovere l'esponente trovando la radice (e viceversa)
Gli esponenti sono un argomento pre-algebra abbastanza avanzato: se non sai come farlo, dai un'occhiata al nostro articolo sugli esponenziali di base per maggiori informazioni. Il "rovescio" di un esponente è una radice che ha lo stesso numero dell'esponente. Ad esempio, il reciproco dell'esponente 2 è la radice quadrata (√), il reciproco dell'esponente 3 è la radice cubica (3), e così via.
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Questo potrebbe creare un po' di confusione, ma in questi casi stai cercando le radici di entrambi i lati quando lavori con un esponente. In altre parole, stai facendo l'elevamento a potenza per entrambi i lati quando lavori con la radice. Vedi sotto:
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- Per l'esponente, trova la radice. Esempio: x2 = 49 → x = √49
- Per le radici, alza. Esempio: x = 12 → x = 122
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Parte 4 di 5: affina le tue abilità di algebra
Passaggio 1. Usa le immagini per rendere le domande più chiare
Se hai difficoltà a immaginare un problema di algebra, prova a utilizzare un diagramma o un'immagine per illustrare la tua equazione. Puoi anche provare a usare un mucchio di oggetti fisici (come blocchi o monete) se ne hai uno.
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Ad esempio, risolviamo l'equazione x + 2 = 3 usando il quadrato (☐)
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- x+2 = 3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- In questo passaggio, sottrarremo 2 da entrambi i lati rimuovendo 2 quadrati (☐☐) da entrambi i lati:
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
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=☐, oppure x =
Passo 1.
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Come altro esempio, proviamo 2x = 4
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- ☒☒ =☐☐☐☐
- In questo passaggio, divideremo i due lati separando le caselle su ciascun lato in due gruppi:
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
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=, oppure x =
Passo 2.
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Passaggio 2. Utilizzare "controlli di buon senso" (soprattutto per le domande sulla storia)
Quando converti i problemi della storia in algebra, prova a controllare le tue formule inserendo valori semplici per le tue variabili. La tua equazione ha senso quando x=0? Quando x=1? Quando x= -1? È facile commettere il semplice errore di scrivere p=6d quando intendi p=d/6, ma queste cose saranno facili da individuare se fai un rapido controllo di buon senso sul tuo lavoro prima di andare avanti.
Ad esempio, ci viene detto che un campo da calcio è 30 m più lungo di quanto sia largo. Usiamo l'equazione p = l + 30 per rappresentare questo problema. Possiamo verificare se questa equazione ha senso inserendo valori semplici per l. Ad esempio, se il campo ha una larghezza di l = 10 m, la lunghezza è 10 + 30 = 40 m. Se la larghezza è 30 m, la lunghezza è 30 + 30 = 60 m e così via. Questa equazione ha senso: ci aspettiamo che questo campo abbia una lunghezza maggiore all'aumentare della larghezza, quindi questa equazione ha senso
Passaggio 3. Nota che le risposte non sono sempre intere in algebra
Le risposte in algebra e in altre forme avanzate non sono sempre semplici numeri tondi. Questo numero può essere un numero decimale, frazionario o irrazionale. Una calcolatrice può aiutarti a trovare queste risposte complesse, ma tieni presente che il tuo insegnante potrebbe richiederti di scrivere le tue risposte in forma esatta, non in forma decimale complicata.
Ad esempio, semplificheremo un'equazione algebrica in x = 12507. Se digitiamo 12507 nella calcolatrice, otterremo moltissime posizioni decimali (inoltre, poiché lo schermo della calcolatrice non è molto grande, la calcolatrice non può visualizzare tutte le risposte.) In questo caso, potremmo voler scrivere la nostra risposta come solo 12507 oppure semplificare la risposta scrivendola in notazione scientifica.
Passaggio 4. Quando ti senti sicuro con l'algebra di base, prova a scomporre in fattori
Una delle abilità algebriche più complesse di tutte è la fattorizzazione, una sorta di scorciatoia per trasformare equazioni complesse in forme più semplici. Il factoring è un argomento di algebra semi-avanzato, quindi considera di consultare l'articolo collegato sopra se hai problemi a padroneggiarlo. Di seguito sono riportati solo alcuni suggerimenti rapidi per scomporre in fattori le equazioni:
- L'equazione della forma ax + ba viene scomposta in a(x + b). Esempio: 2x + 4 = 2(x + 2)
- Equazione della forma ax2 + bx viene scomposto in cx((a/c)x + (b/c)) dove c è il numero più grande che può dividere equamente a e b. Esempio: 3y2 + 12 anni = 3 anni (anno + 4)
- Equazione della forma x2 + bx + c viene scomposto in (x + y)(x + z) dove y × z = c e yx + zx = bx. Esempio: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
Passaggio 5. Pratica, pratica e pratica
I progressi in algebra (e in altri tipi di matematica) richiedono molto duro lavoro e ripetizioni. Non preoccuparti: prestando attenzione in classe, svolgendo tutti i compiti e cercando aiuto dal tuo insegnante o da altri studenti quando ne hai bisogno, l'algebra inizierà a diventare un'abitudine.
Passaggio 6. Chiedi al tuo insegnante di aiutarti a comprendere argomenti algebrici complessi
Se hai difficoltà a capire l'algebra, non preoccuparti: non devi impararla da solo. Il tuo insegnante è la prima persona a cui dovresti rivolgerti per le domande. Dopo la lezione, chiedi gentilmente aiuto al tuo insegnante. Un buon insegnante di solito sarà disposto a rispiegare l'argomento del giorno in una riunione dopo la scuola e il tuo insegnante potrebbe essere in grado di fornirti ulteriori materiali pratici.
Se, per qualche motivo, il tuo insegnante non è in grado di aiutarti, chiedigli informazioni su ulteriori opzioni di studio nella tua scuola. Molte scuole hanno una sorta di programma doposcuola che può aiutarti a ottenere il tempo e l'attenzione extra di cui hai bisogno per iniziare a padroneggiare la tua algebra. Ricorda che usare l'aiuto gratuito a tua disposizione non è niente di cui vergognarsi: è un segno che sei abbastanza intelligente da risolvere il tuo problema
Parte 5 di 5: Esplorazione di argomenti intermedi
Passaggio 1. Impara a rappresentare graficamente l'equazione x/y
I grafici possono essere uno strumento prezioso in algebra perché consentono di presentare idee che richiedono numeri sotto forma di immagini di facile comprensione. Tipicamente, nell'algebra per principianti, i problemi grafici sono limitati alle equazioni con due variabili (di solito x e y) e sono rappresentati in semplici grafici 2-D con un asse x e un asse y. Con queste equazioni, tutto ciò che devi fare è inserire un valore per x, quindi cercare y (o viceversa) per ottenere due numeri che diventano un punto sul grafico.
- Ad esempio, nell'equazione y = 3x, se inseriamo 2 per x, otteniamo y = 6. Ciò significa che il punto (2, 6) (due passi a destra dal centro del grafico e sei passi in alto dal centro del grafico) fa parte del grafico di questa equazione.
- Le equazioni della forma y = mx + b (dove m e b sono numeri) sono molto comuni nell'algebra di base. Queste equazioni hanno sempre un gradiente o pendenza m e intersecano l'asse y in y = b.
Passaggio 2. Impara a risolvere le disuguaglianze
Cosa fai quando la tua equazione non ha il segno di uguale? Risulta, non troppo diverso da quello che fai di solito. Per le disuguaglianze, che utilizzano segni come > ("maggiore di") e < ("minore di"), risolvi come al solito. Lascerai una risposta minore o maggiore della tua variabile.
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Ad esempio, con l'equazione 3 > 5x – 2, la risolveremmo come faremmo con un'equazione normale:
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- 3 > 5x - 2
- 5 > 5x
- 1 > x, o x < 1.
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- Ciò significa che qualsiasi numero inferiore a uno può essere un valore x. In altre parole, x può essere 0, -1, -2 e così via. Se inseriamo questi numeri nell'equazione per x, otterremo sempre una risposta inferiore a 3.
Passaggio 3. Lavora su equazioni quadratiche
Uno degli argomenti algebrici con cui i principianti possono avere problemi è la risoluzione di equazioni quadratiche. Il quadrato è un'equazione della forma ax2 + bx + c = 0, dove a, b e c sono numeri (tranne che a non può essere 0). Queste equazioni sono risolte dalla formula x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a. Fai attenzione: il segno +/- significa che devi trovare le risposte all'addizione e alla sottrazione in modo da poter avere due risposte a questo tipo di domande.
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Ad esempio, risolviamo la formula quadratica 3x2 + 2x -1 = 0.
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- x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a
- x = [-2 +/- (22 - 4(3)(-1))]/2(3)
- x = [-2 +/- (4 - (-12))]/6
- x = [-2 +/- (16)]/6
- x = [-2 +/- 4]/6
- x = - 1 e 1/3
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Passaggio 4. Sperimenta con i sistemi di equazioni
Risolvere più di un'equazione alla volta può sembrare molto complicato, ma quando lavori con semplici equazioni algebriche, in realtà non è così difficile. Spesso gli insegnanti di algebra utilizzano un approccio grafico per risolvere questi problemi. Quando lavori con un sistema di due equazioni, le soluzioni sono i punti sul grafico in cui si intersecano le linee delle due equazioni.
- Ad esempio, stiamo lavorando con un sistema le cui equazioni sono y = 3x – 2 e y = -x – 6. Se tracciamo queste due linee sul grafico, otterremo una linea che sale di un angolo ripido e una che scende di un angolo ripido, un angolo dolce. Poiché queste linee si intersecano nel punto (-1, -5), allora questo punto è la soluzione di questo sistema.
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Se vogliamo verificare il nostro problema, possiamo farlo inserendo la nostra risposta nell'equazione nel sistema: la risposta corretta sarà "corretta" per entrambe le equazioni.
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- y = 3x - 2
- -5 = 3(-1) - 2
- -5 = -3 - 2
- -5 = -5
- y = -x - 6
- -5 = -(-1) - 6
- -5 = 1 - 6
- -5 = -5
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- Entrambe le equazioni sono "controllate", quindi la nostra risposta è corretta!
Suggerimenti
- Ci sono molte risorse per imparare l'algebra da Internet. Ad esempio, cerca "formule algebriche" in un motore di ricerca. Ci sono tanti grandi risultati che emergeranno. Puoi anche provare a sfogliare una selezione di articoli di matematica di wikiHow. Ci sono molte informazioni là fuori, quindi inizia a esplorare ora!
- Un ottimo sito per principianti di algebra è khanacademy.com. Questo sito gratuito offre dozzine di lezioni facili da seguire su un'ampia varietà di argomenti, inclusa l'algebra. Ci sono video per tutti questi argomenti, dalle basi molto semplici agli argomenti avanzati di livello universitario. Quindi non aver paura di esplorare i materiali di Khan Academy e iniziare a utilizzare tutto l'aiuto che il sito ha da offrire!
- Non dimenticare che le tue migliori risorse quando stai cercando di imparare l'algebra includono persone che conosci bene. Chiedi ai tuoi amici o compagni di classe dell'ultima lezione che non hai capito.
