Anche se a volte può sembrare scoraggiante, il problema della radice quadrata non è in realtà così difficile da risolvere. I problemi di radice quadrata semplici possono essere risolti di solito con la stessa facilità dei problemi di moltiplicazione e divisione di base. Per domande più complesse, ci vuole un piccolo sforzo in più. Ma con il giusto approccio, qualsiasi problema difficile può essere risolto. Attraverso questo articolo ti aiuteremo a risolvere i problemi di radice quadrata in pochi semplici passaggi.
Fare un passo
Parte 1 di 3: Comprensione dei quadrati e delle radici quadrate
Passaggio 1. Il quadrato è il numero moltiplicato per il numero stesso
Per capire la radice quadrata, è bene capire prima il significato del quadrato. In poche parole, un quadrato è un numero moltiplicato per il numero stesso. Ad esempio, 3 al quadrato è 3 per 3 = 9 e 9 al quadrato è 9 per 9 = 81. Il quadrato è rappresentato dal piccolo 2 in alto a destra del numero al quadrato, in questo modo: 32, 92, 1002, eccetera.
Prova a quadrare altri numeri per testare questo concetto. Ricorda, elevare al quadrato un numero significa moltiplicare un numero per se stesso. Puoi anche elevare al quadrato i numeri negativi. Il risultato sarà sempre un numero positivo. Ad esempio, -82 = -8 × -8 = 64.
Passaggio 2. La radice quadrata è il reciproco del quadrato
Il simbolo della radice quadrata (√, noto anche come simbolo "radicale") è essenzialmente l'opposto del simbolo 2. Quando trovi un radicale, chiediti: quale numero, se al quadrato, risulterebbe nel numero all'interno del radicale? Ad esempio, se guardi √(9), trova il numero che al quadrato è nove. Quindi, la risposta è "tre", perché 32 = 9.
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Come altro esempio, proviamo a trovare la radice quadrata di 25 (√(25)). Cioè, stiamo cercando un numero che, al quadrato, il risultato sia 25. Perché 52 = 5 × 5 = 25, quindi (25) =
Passaggio 5..
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La radice quadrata può anche essere considerata "annullando" il quadrato. Ad esempio, se vogliamo trovare (64), la radice quadrata di 64, allora pensiamo a 64 come 82. Poiché il simbolo della radice quadrata essenzialmente “nega” il simbolo del quadrato, quindi (64) = (82) =
Passaggio 8..
Passaggio 3. Conoscere la differenza tra quadrati perfetti e imperfetti
Fino ad ora, i risultati dei nostri calcoli della radice quadrata erano numeri interi. Le domande che affronterai in seguito non saranno così facili, ci saranno domande con risposte numeriche decimali con poche cifre dietro la virgola. I numeri che vengono arrotondati dopo la quadratura (ovvero, non numeri frazionari o decimali) sono indicati anche come "quadrati perfetti". Tutti gli esempi precedenti (9, 25 e 64) sono quadrati perfetti perché se sono quadrati, il risultato è un numero intero (3, 5 e 8).
D'altra parte, i numeri che non vengono arrotondati dopo essere stati squadrati, sono "quadrati imperfetti". Di solito, dopo il quadrato il risultato è un numero frazionario o decimale. A volte anche i numeri sembrano molto complicati, come (13) = 3, 605551275464…
Passaggio 4. Memorizza il quadrato dei numeri 1-12
Come già sai, elevare al quadrato un numero quadrato perfetto è molto semplice. Memorizzare i quadrati dei numeri 1-12 può essere molto utile perché questi numeri appariranno molto nel problema. In questo modo risparmierai tempo mentre lavori sulle domande. I primi 12 numeri al quadrato sono:
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12 = 1 × 1 =
Passo 1.
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22 = 2 × 2 =
Passaggio 4.
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32 = 3 × 3 =
Passaggio 9.
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42 = 4 × 4 =
Passaggio 16.
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52 = 5 × 5 =
Passaggio 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Passaggio 5. Semplifica la radice quadrata rimuovendo i quadrati perfetti
Trovare la radice quadrata di un numero quadrato imperfetto può essere complicato, soprattutto se non usi una calcolatrice. Tuttavia, il numero da elevare al quadrato può essere semplificato per facilitarne il calcolo. Per fare ciò, separa semplicemente il numero all'interno del radicale in diversi fattori, quindi rimuovi la radice quadrata dei numeri quadrati perfetti e scrivi la risposta all'esterno del radicale. Questo metodo è abbastanza facile da eseguire: per darti una migliore comprensione, ecco ulteriori spiegazioni:
- Supponiamo di voler calcolare la radice quadrata di 900. Quindi, dividi semplicemente 900 nei suoi fattori. I "fattori" sono numeri che possono essere moltiplicati insieme per produrre un altro numero. Ad esempio, il numero 6 può essere ottenuto moltiplicando e 1 × 6 e 2 × 3, quindi i fattori di 6 sono 1, 2, 3 e 6.
- Con questo principio in mente, scomponiamo 900 nei suoi fattori. Per cominciare, scriviamo 900 come 9 × 100. Poiché 9 è un quadrato perfetto, possiamo prendere la radice quadrata di 100 separatamente. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). In altre parole, (900) = 3√(100).
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Possiamo semplificarlo ulteriormente separando 100 nei suoi fattori, cioè 25 e 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Pertanto, si può calcolare (900) = 3(10) =
Passaggio 30..
Passaggio 6. Utilizzare un numero immaginario per la radice quadrata di un numero negativo
Pensa, quale numero se al quadrato il risultato è -16? La risposta, no. Tutti i numeri al quadrato il risultato è sempre positivo, perché è negativo (-), moltiplicato per negativo il risultato è positivo (+). Quindi, per elevare al quadrato un numero negativo, dobbiamo sostituire il numero negativo con un numero immaginario (di solito sotto forma di lettere o simboli). Ad esempio, la variabile "i" viene generalmente utilizzata per la radice quadrata di -1. Un numero immaginario è sempre alla radice quadrata di un numero negativo.
Va notato che sebbene i numeri immaginari non siano mai rappresentati da numeri, possono comunque essere trattati come numeri in vari modi. Ad esempio, la radice quadrata di un numero negativo può essere al quadrato, per rimuovere la radice quadrata. Ad esempio, io2 = - 1
Parte 2 di 3: utilizzare l'algoritmo di stile di divisione lunga
Passaggio 1. Risolvi i problemi di radice quadrata come i problemi di divisione lunga
Sebbene i problemi di radice quadrata difficili e dispendiosi in termini di tempo possono essere risolti senza una calcolatrice. Per fare ciò, utilizzeremo un metodo (o algoritmo) simile alla divisione dello stack lungo.
- Inizia scrivendo il problema della radice quadrata come faresti con un problema di divisione lunga. Ad esempio, trova la radice di 6, 45, che non è un numero intero. Per prima cosa scriviamo il simbolo radicale (√), quindi sotto di esso scriviamo il numero di cui vogliamo prendere il quadrato. Quindi traccia una linea sui numeri, proprio come una lunga divisione in pila. Ora, il simbolo "√" sembra avere una coda con il numero 6.45 in basso.
- Scriveremo i numeri sopra il problema, quindi assicurati di lasciare uno spazio vuoto.
Passaggio 2. Raggruppare le cifre del numero in coppie
Innanzitutto, raggruppa le cifre del numero sotto il radicale in coppie, iniziando dal punto decimale. Crea una sorta di marcatore (punto, virgola, linea, ecc.) tra le coppie per un facile monitoraggio.
Nel problema di esempio, 6, 45 sarà diviso in 6-, 45-00. Ricorda che ci sono cifre "rimanenti" a sinistra: questo non è un problema.
Passaggio 3. Trova il numero più grande il cui valore quadrato è minore o uguale al primo gruppo
Inizia con il primo numero del gruppo a sinistra. Scegli il numero più grande il cui valore quadrato è minore o uguale nel gruppo. Ad esempio, se il gruppo è 37, scegli 6 perché 62 = 36 < 37 ma 72 = 49 > 37. Scrivi questo numero sopra il primo gruppo. Questo numero è la prima cifra della tua risposta.
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Nel problema di esempio, il primo gruppo di 6-, 45-00 è 6. Il numero più grande che è minore o uguale a 6 quando al quadrato è
Passo 2. - 22 = 4. Scrivi il numero "2" sopra 6 e la coda è un radicale.
Passaggio 4. Moltiplica il numero che hai appena annotato, quindi abbassalo e poi sottrailo
Prendi la prima cifra della tua risposta (scritta sopra il radicale) e moltiplicala. Scrivi la risposta sotto il primo gruppo e sottrai per trovare la differenza. Trascina il gruppo successivo a destra della differenza appena calcolata. Infine, scrivi l'ultima cifra della moltiplicazione per la prima cifra della tua risposta a sinistra e lascia uno spazio vuoto a destra.
Nel problema di esempio, il numero che viene raddoppiato è 2 (la prima cifra della risposta precedente). 2 × 2 = 4. Quindi, sottrarre 4 per 6 (dal primo gruppo). 6 - 4 il risultato è 2. Quindi, abbassa il gruppo successivo (45) e otteniamo 245. Infine, riscrivi il numero 4 a sinistra e lascia un po' di spazio a destra, in questo modo: 4_
Passaggio 5. Compila lo spazio vuoto
Aggiungi le cifre a destra del numero che hai scritto a sinistra. Scegli la cifra che dà il valore più grande quando moltiplicata per questo nuovo numero, ma è ancora minore o uguale al "numero derivato". Ad esempio, se il “numero derivato” è 1700 e il numero alla tua sinistra è 40_, il numero da inserire è "4" perché 404 × 4 = 1616 < 1700, mentre 405 × 5 = 2025. Il numero trovato in questo passaggio è la seconda cifra della tua risposta, quindi scrivilo sopra il simbolo del radicale.
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Nel problema di esempio, cercheremo il numero accanto a 4_ × _ la cui risposta è il numero più grande ma è minore o uguale a 245. La risposta è
Passaggio 5.. 45 × 5 = 225, mentre 46 × 6 = 276.
Passaggio 6. Continua a utilizzare i numeri "spazio vuoto" per trovare la risposta
Continua lo schema di divisione a sovrapposizione lunga fino a quando la differenza tra le sottrazioni dei numeri derivati è zero o non è stato ottenuto un numero abbastanza accurato. Quando hai finito, i numeri che hai usato per riempire gli spazi vuoti in ogni passaggio (più il primo numero che hai usato) compongono ogni cifra della tua risposta.
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Nel problema di esempio, sottrai 245 per 220 per ottenere 20. Successivamente, abbasseremo il prossimo gruppo di cifre, 00, e otterremo 2000. Moltiplica il numero sopra il simbolo del radicale e otterremo 25 × 2 = 50. Per riempire negli spazi vuoti a 50_ × _ =/< 2, 000, otteniamo il numero
Passaggio 3.. Ora, abbiamo "253" sopra il simbolo del radicale: ripeti di nuovo questo processo e ottieni 9 nella cifra successiva.
Passaggio 7. Rimuovere il segno decimale dall'origine
Per ottenere la risposta finale, metti la virgola nella posizione corretta. È facile: basta mettere il punto decimale in linea con il punto decimale sotto il simbolo del radicale. Ad esempio, il numero sotto il radicale è 49, 8, quindi inserisci un punto decimale tra i numeri sopra 8 e 9.
Nel problema di esempio, se il numero sotto il radicale è 6, 45, il punto decimale sarà in linea tra le cifre 2 e 5. Ciò significa che la risposta finale è 2, 539.
Parte 3 di 3: stima rapidamente i quadrati imperfetti
Passaggio 1. Trova il quadrato imperfetto usando l'approssimazione
Una volta che hai memorizzato i quadrati perfetti, trovare i quadrati imperfetti sarà molto più facile. Il trucco è trovare un quadrato perfetto prima e dopo il numero che stai cercando. Quindi, determina quale dei due quadrati perfetti è più vicino al numero che stai cercando.
Ad esempio, vogliamo trovare la radice quadrata di 40. Il numero quadrato perfetto prima e dopo 40 è 62 e 72, che è 36 e 49. Poiché 40 è maggiore di 36 e minore di 49, la radice quadrata di 40 deve essere compresa tra 6 e 7. Il numero 40 è più vicino a 36 che a 49, quindi la radice quadrata di 40 è più vicina a 6 Ecco alcuni passaggi per trovare una risposta accurata.
Passaggio 2. Stimare la radice quadrata a una cifra dopo la virgola
Quando hai determinato due numeri quadrati perfetti prima e dopo il numero che stai cercando, il resto è il processo per trovare il numero dietro la virgola più vicino alla risposta. Inizia con il numero stimato a una cifra dopo la virgola. Questo processo continuerà a ripetersi finché non otterrai una risposta con la precisione che desideri.
Nel problema di esempio, l'approssimazione ragionevole della radice quadrata di 40 è 6, 4, perché la risposta è molto probabilmente più vicina a 6 che a 7.
Passaggio 3. Moltiplica il numero stimato per il numero stesso
In altre parole, eleva al quadrato il tuo numero approssimativo. Se sei fortunato, il risultato sarà il numero nel problema. In caso contrario, continua ad aggiungere o sottrarre i numeri dopo la virgola finché non trovi il quadrato più vicino al numero nel problema.
- Moltiplica 6, 4 per 6, 4 per ottenere 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, che è leggermente superiore a 40.
- Poiché l'esperimento iniziale era ridondante, sottrai l'approssimazione di una cifra decimale, ovvero 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Questo risultato è leggermente inferiore al numero nel problema. Ciò significa che la radice quadrata di 40 è compresa tra 6, 3 e 6, 4. Quindi, poiché 39,69 è più vicina a 40, anche la radice quadrata di 40 è più vicina a 6, 3.
Passaggio 4. Previsione in avanti secondo necessità
Usa la tua risposta se pensi che sia abbastanza accurata. Ma in caso contrario, continua semplicemente lo schema approssimativo sopra finché non trovi una risposta con tre o quattro cifre dopo la virgola - comunque, finché non raggiungi il livello di precisione che desideri.
