Come Disegnare un Grafico Quadrato: 10 Passaggi (con Immagini)

2024 Autore: Jason Gerald | [email protected]. Ultima modifica: 2024-02-01 14:13

Quando rappresentata graficamente, l'equazione quadratica è della forma ascia² + bx + c o a(x - h)² + k forma la lettera U o una curva ad U invertita chiamata parabola. Disegnare un'equazione quadratica sta cercando il vertice, la direzione e spesso l'intersezione xey. Nei casi di equazioni quadratiche abbastanza semplici, può essere sufficiente inserire un insieme di valori x e tracciare la curva in base ai punti risultanti. Vedere il passaggio 1 di seguito per iniziare.

Fare un passo

Passaggio 1. Determina la forma dell'equazione quadratica che hai

Le equazioni quadratiche possono essere scritte in tre forme diverse: forma generale, forma dei vertici e forma quadratica. Puoi usare qualsiasi forma per rappresentare graficamente un'equazione quadratica; il processo di rappresentazione di ciascun grafico è leggermente diverso. Se stai facendo i compiti, di solito riceverai domande in una di queste due forme - in altre parole, non sarai in grado di scegliere, quindi è meglio capire entrambe. Le due forme dell'equazione quadratica sono:

• Forma generale.

  In questa forma, l'equazione quadratica è scritta come: f(x) = ax² + bx + c dove a, b e c sono numeri reali e a non è zero.

  Ad esempio, due equazioni quadratiche di forma generale sono f(x) = x² + 2x + 1 e f(x) = 9x² + 10x -8.

• Forma di picco.

  In questa forma, l'equazione quadratica è scritta come: f(x) = a(x - h)² + k dove a, h e k sono numeri reali e a non è zero. Si chiama forma del vertice perché h e k daranno immediatamente il vertice (punto medio) della tua parabola nel punto (h, k).

  Le due equazioni della forma dei vertici sono f(x) = 9(x - 4)² + 18 e -3(x - 5)² + 1

• Per rappresentare graficamente qualsiasi tipo di equazione, dobbiamo prima trovare il vertice della parabola, che è il punto medio (h, k) alla fine della curva. Le coordinate dei picchi nella forma generale sono calcolate come: h = -b/2a e k = f(h), mentre nella forma del picco, h e k sono nell'equazione.

Passaggio 2. Definisci le tue variabili

Per risolvere un problema quadratico, di solito devono essere definite le variabili a, b e c (o a, h e k). Un normale problema di algebra darà un'equazione quadratica con le variabili disponibili, di solito in forma generale, ma a volte in forma di picco.

• Ad esempio, per un'equazione di forma generale f(x) = 2x² +16x + 39, abbiamo a = 2, b = 16 e c = 39.
• Per l'equazione della forma del picco f(x) = 4(x - 5)² + 12, abbiamo a = 4, h = 5 e k = 12.

Passaggio 3. Calcola h

Nell'equazione della forma del vertice, il tuo valore h è già dato, ma nell'equazione della forma generale, il valore h deve essere calcolato. Si ricordi che, per equazioni di forma generale, h = -b/2a.

• Nel nostro esempio di forma generale (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Dopo aver risolto, troviamo che h = - 4.
• Nel nostro esempio di forma vertice (f(x) = 4(x - 5)² + 12), sappiamo che h = 5 senza fare calcoli.

Passaggio 4. Calcola k

Come h, k è già noto nell'equazione della forma del picco. Per le equazioni di forma generale si ricordi che k = f(h). In altre parole, puoi trovare k sostituendo tutti i valori x nella tua equazione con i valori h che hai appena trovato.

• Abbiamo già determinato nel nostro esempio di forma generale che h = -4. Per trovare k, risolviamo la nostra equazione inserendo il nostro valore di h al posto di x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Passaggio 7.

• Nel nostro esempio di forma di picco, ancora una volta, conosciamo il valore di k (che è 12) senza dover fare alcun calcolo.

Passaggio 5. Disegna il tuo picco

Il vertice della tua parabola è il punto (h, k) – h rappresenta la coordinata x, mentre k rappresenta la coordinata y. Il vertice è il punto medio della tua parabola, nella parte inferiore della U o nella parte superiore della U invertita. Conoscere i vertici è una parte importante del disegno di una parabola precisa: spesso, nei compiti scolastici, determinare il vertice è la parte da cercare in una domanda.

• Nel nostro esempio di forma generale, il nostro picco è (-4, 7). Quindi, la nostra parabola culminerà 4 gradini a sinistra da 0 e 7 gradini sopra (0, 0). Dobbiamo rappresentare questo punto nel nostro grafico, assicurandoci di segnare le coordinate.
• Nel nostro esempio di forma di vertice, il nostro vertice è (5, 12). Dobbiamo disegnare un punto 5 passi a destra e 12 passi sopra (0, 0).

Passaggio 6. Disegna l'asse della parabola (opzionale)

L'asse di simmetria di una parabola è una linea che passa per il suo centro, dividendola esattamente nel mezzo. Su questo asse, il lato sinistro della parabola rifletterà il lato destro. Per equazioni quadratiche nella forma ax² + bx + c oppure a(x - h)² + k, l'asse di simmetria è la retta parallela all'asse y (in altre parole, esattamente verticale) e passante per il vertice.

Nel caso del nostro esempio di forma generale, l'asse è la linea parallela all'asse y e passante per il punto (-4, 7). Anche se non fa parte della parabola, segnare in modo sottile questa linea sul grafico alla fine ti aiuterà a vedere la forma simmetrica della curva della parabola

Passaggio 7. Trova la direzione dell'apertura della parabola

Dopo aver conosciuto il picco e l'asse della parabola, dobbiamo sapere se la parabola si apre verso l'alto o verso il basso. Fortunatamente, questo è facile. Se il valore di a è positivo, la parabola si aprirà verso l'alto, mentre se il valore di a è negativo, la parabola si aprirà verso il basso (cioè la parabola sarà invertita).

• Per il nostro esempio di forma generale (f(x) = 2x² +16x + 39), sappiamo di avere una parabola che si apre perché, nella nostra equazione, a = 2 (positivo).
• Per il nostro esempio di forma del vertice (f(x) = 4(x - 5)² + 12), sappiamo che abbiamo anche una parabola che si apre perché a = 4 (positivo).

Passaggio 8. Se necessario, trova e disegna l'intercetta x

Spesso, a scuola, ti verrà chiesto di trovare l'intercetta x nella parabola (che è uno o due punti in cui la parabola incontra l'asse x). Anche se non ne trovi uno, questi due punti sono molto importanti per disegnare una parabola precisa. Tuttavia, non tutte le parabole hanno un'intercetta x. Se la tua parabola ha un vertice che si apre e il suo vertice è sopra l'asse x o se si apre verso il basso e il suo vertice è sotto l'asse x, la parabola non avrà intercetta x. Altrimenti, risolvi l'intercetta x in uno dei seguenti modi:

• Basta fare f(x) = 0 e risolvere l'equazione. Questo metodo può essere utilizzato per semplici equazioni quadratiche, specialmente in forma di picco, ma sarà molto difficile per equazioni complesse. Vedi sotto per un esempio

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Radice (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 e 13 è l'intercetta x nella parabola.

• Fattorizzare la tua equazione. Alcune equazioni nella forma ax² + bx + c può essere facilmente scomposto nella forma (dx + e)(fx +g), dove dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, ed e × g = c. In questo caso, le tue x-intercette sono valori x che renderanno qualsiasi termine tra parentesi = 0. Ad esempio:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • In questo caso, la tua unica intercetta x è -1 perché rendere x uguale a -1 renderà qualsiasi termine fattore tra parentesi uguale a 0.

• Usa la formula quadratica. Se non riesci a risolvere facilmente l'intercetta x oa fattorizzare la tua equazione, usa un'equazione speciale chiamata formula quadratica che è stata creata per questo scopo. Se non è ancora risolto, converti la tua equazione nella forma ax² + bx + c, quindi inserisci a, b e c nella formula x = (-b +/- sqrt(b)² - 4ac))/2a. Nota che questo metodo spesso ti dà due risposte per il valore di x, il che è OK - significa solo che la tua parabola ha due x-intercette. Vedi sotto per un esempio:

  • -5x² + 1x + 10 viene inserito nella formula quadratica in questo modo:
  • x = (-1 +/- Radice (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Radice(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Radice (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) e (-15, 18/-10). L'intercetta x nella parabola è x = - 1, 318 e 1, 518
  • Il nostro precedente esempio della forma generale, 2x² +16x+39 viene inserito nella formula quadratica come segue:
  • x = (-16 +/- Radice (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Radice (256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- Radice(-56)/-10
  • Poiché è impossibile trovare la radice quadrata di un numero negativo, sappiamo che questa parabola non ha x-intercetta.

Passaggio 9. Se necessario, trova e disegna l'intercetta y

Anche se spesso non è necessario cercare l'intercetta y nelle equazioni (il punto in cui la parabola passa attraverso l'asse y), potresti doverlo trovare, soprattutto se sei a scuola. Il processo è abbastanza semplice: basta fare x = 0, quindi risolvere l'equazione per f(x) o y, che fornisce il valore di y nel punto in cui la parabola passa attraverso l'asse y. A differenza dell'intercetta x, una parabola regolare può avere solo un'intercetta y. Nota: per le equazioni di forma generale, l'intercetta y è in y = c.

• Ad esempio, sappiamo che la nostra equazione quadratica è 2x² + 16x + 39 ha un'intercetta y in y = 39, ma può essere trovata anche nel modo seguente:

  • f(x) = 2x² +16x+39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. L'intercetta y della parabola è a y = 39.

    Come notato sopra, l'intercetta y è a y = c.

• La forma della nostra equazione di vertice è 4(x - 5)² + 12 ha un'intercetta y che può essere trovata nel modo seguente:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. L'intercetta y della parabola è a y = 112.

Passaggio 10. Se necessario, disegna punti aggiuntivi, quindi disegna un grafico

Ora hai il vertice, la direzione, l'intercetta x e possibilmente l'intercetta y nella tua equazione. A questo punto, puoi provare a disegnare la tua parabola usando i punti che hai come guida, o cercare altri punti per riempire la tua parabola in modo che la curva che disegni sia più precisa. Il modo più semplice per farlo è semplicemente inserire alcuni valori x in qualsiasi lato del vertice, quindi tracciare questi punti utilizzando i valori y che ottieni. Spesso, gli insegnanti ti chiedono di cercare diversi punti prima di disegnare la tua parabola.

• Rivediamo l'equazione x² + 2x + 1. Sappiamo già che l'intercetta x è solo in x = -1. Poiché la curva tocca solo l'intercetta x in un punto, possiamo concludere che il vertice è la sua intercetta x, il che significa che il vertice è (-1, 0). Abbiamo effettivamente un solo punto per questa parabola, non abbastanza per disegnare una buona parabola. Cerchiamo altri punti per assicurarci di disegnare un grafico completo.

  • Troviamo i valori y per i seguenti valori x: 0, 1, -2 e -3.
  • Per 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Il nostro punto è (0, 1).

  • Per 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Il nostro punto è (1, 4).

  • Per -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Il nostro punto è (-2, 1).

  • Per -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Il nostro punto è (-3, 4).

  • Disegna questi punti sul grafico e disegna la tua curva a forma di U. Nota che la parabola è perfettamente simmetrica: quando i tuoi punti su un lato della parabola sono interi, di solito puoi ridurre il lavoro semplicemente riflettendo un dato punto sull'asse di simmetria della parabola per trovare lo stesso punto sull'altro lato della parabola.

Suggerimenti

• Arrotonda i numeri o usa le frazioni secondo la richiesta del tuo insegnante di algebra. Questo ti aiuterà a rappresentare meglio l'equazione quadratica.
• Nota che in f(x) = ax² + bx + c, se b o c è uguale a zero, questi numeri scompariranno. Ad esempio, 12x² + 0x + 6 diventa 12x² + 6 perché 0x è 0.