Nel calcolo derivato, un punto di flesso è il punto su una curva in cui la curva cambia segno (da positivo a negativo o da negativo a positivo). Viene utilizzato in una varietà di argomenti, tra cui ingegneria, economia e statistica, per determinare cambiamenti fondamentali nei dati. Se hai bisogno di trovare il punto di flesso di una curva, vai al passaggio 1.
Fare un passo
Metodo 1 di 3: Comprensione dei punti di flesso
Passaggio 1. Comprendere la funzione concava
Per comprendere il punto di flesso, è necessario distinguere tra funzioni concave e convesse. Una funzione concava è una funzione in cui la linea che collega due punti sul grafico non è mai al di sopra del grafico.
Passaggio 2. Comprendi la funzione convessa
Una funzione convessa è sostanzialmente l'opposto di una funzione convessa: cioè una funzione in cui la linea che collega due punti sul grafico non è mai al di sotto del grafico.
Passaggio 3. Comprendere le basi di una funzione
La base di una funzione è il punto in cui la funzione è uguale a zero.
Se stai per rappresentare graficamente una funzione, le basi sono i punti in cui la funzione interseca l'asse x
Metodo 2 di 3: trovare la derivata di una funzione
Passaggio 1. Trova la prima derivata della tua funzione
Prima di poter trovare il punto di flesso, devi trovare la derivata della tua funzione. La derivata della funzione di base può essere trovata in qualsiasi libro di calcolo; Devi impararli prima di poter passare a lavori più complicati. La prima derivata si scrive f '(x). Per un'espressione polinomiale della forma axp + bx(p−1) + cx + d, la prima derivata è apx(p−1) + b(p1)x(p−2) + c.
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Per illustrare, supponiamo di dover trovare il punto di flesso della funzione f(x) = x3 +2x−1. Calcola la derivata prima della funzione in questo modo:
f (x) = (x3 + 2x 1)′ = (x3)′ + (2x)′ (1)′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Passaggio 2. Trova la seconda derivata della tua funzione
La derivata seconda è la derivata prima della derivata prima della funzione, scritta come f (x).
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Nell'esempio sopra, il calcolo della derivata seconda della funzione sarebbe così:
f (x) = (3x2 + 2)′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Passaggio 3. Rendi la seconda derivata uguale a zero
Imposta la tua seconda derivata uguale a zero e risolvi l'equazione. La tua risposta è un possibile punto di svolta.
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Nell'esempio sopra, il tuo calcolo sarebbe simile a questo:
f (x) = 0
6x = 0
x=0
Passaggio 4. Trova la derivata terza della tua funzione
Per vedere se la tua risposta è davvero un punto di flesso, trova la derivata terza, che è la derivata prima della derivata seconda della funzione, scritta come f (x).
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Nell'esempio sopra, il tuo calcolo sarebbe simile a questo:
f (x) = (6x)′ = 6
Metodo 3 di 3: Trovare i punti di flesso
Passaggio 1. Controlla la tua terza derivata
La regola standard per verificare i possibili punti di flesso è la seguente: "Se la terza derivata non è zero, f (x) =/ 0, il possibile punto di flesso è in realtà il punto di flesso". Controlla la tua terza derivata. Se non è uguale a zero, allora quel valore è il vero punto di flesso.
Nell'esempio sopra, la tua terza derivata è 6, non 0. Quindi, 6 è il vero punto di flesso
Passaggio 2. Trova il punto di flesso
Le coordinate del punto di flesso sono scritte come (x, f(x)), dove x è il valore del punto variabile nel punto di flesso e f(x) è il valore della funzione nel punto di flesso.
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Nell'esempio sopra, ricorda che quando calcoli la seconda derivata, trovi che x = 0. Pertanto, devi trovare f (0) per determinare le tue coordinate. Il tuo calcolo sarà simile a questo:
f(0) = 03 +2×0−1 = 1.
Passaggio 3. Registra le tue coordinate
Le coordinate del tuo punto di flesso sono il tuo valore x e il valore che hai calcolato sopra.
