3 modi per scomporre un trinomio

2024 Autore: Jason Gerald | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-15 08:17

Un trinomio è un'espressione algebrica composta da tre termini. Molto probabilmente, inizierai a imparare a scomporre in fattori un trinomio quadratico, ovvero un trinomio scritto nella forma ax² + bx + c. Ci sono alcuni trucchi da imparare, che possono essere usati per molti diversi tipi di trinomi quadratici, ma sarai in grado di usarli meglio e più velocemente con la pratica. Polinomi di ordine superiore, con termini come x³ o x⁴, non può essere sempre risolto allo stesso modo, ma spesso è possibile utilizzare semplici fattorizzazioni o sostituzioni per trasformarlo in un problema che può essere risolto come qualsiasi altra formula quadratica.

Fare un passo

Metodo 1 di 3: Factoring x² + bx + c

Passaggio 1. Impara la moltiplicazione PLDT

Potresti aver imparato a moltiplicare PLDT, o "First, Outside, In, Last" per moltiplicare espressioni come (x+2)(x+4). È utile sapere come funziona questa moltiplicazione prima di fattorizzare:

• Moltiplica le tribù Primo: (X+2)(X+4) = X² + _

• Moltiplica le tribù Al di fuori: (X+2)(x+

  Passaggio 4.) = x²+ 4x + _

• Moltiplica le tribù In: (x+

  Passo 2.)(X+4) = x²+4x+ 2x + _

• Moltiplica le tribù Finale: (x+

  Passo 2.)(X

  Passaggio 4.) = x²+4x+2x

  Passaggio 8.

• Semplifica: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Passaggio 2. Comprendere il factoring

Quando moltiplichi due binomi usando il metodo PLDT, ottieni un trinomio (un'espressione con tre termini) nella forma a x²+ b x+ c, dove a, b e c sono numeri ordinari. Se inizi con un'equazione che ha la stessa forma, puoi scomponerla in due binomi.

• Se le equazioni non sono scritte in questo ordine, riordina le equazioni in modo che abbiano questo ordine. Ad esempio, riscrivi 3x - 10 + x² diventa X² + 3x - 10.
• Perché la potenza più alta è 2 (x², questo tipo di espressione è detto quadratico.

Passaggio 3. Lascia uno spazio vuoto per la risposta sotto forma di moltiplicazione PLDT

Per ora basta scrivere (_ _)(_ _) dove scriverai la risposta. Lo riempiremo mentre ci lavoriamo sopra

Non scrivere + o – tra i termini vuoti perché non conosciamo ancora il segno corretto

Passaggio 4. Compila i primi termini

Per problemi semplici, il primo termine del tuo trinomio è solo x², i termini in Prima posizione sono sempre X e X. Questi sono i fattori del termine x² perché x volte x = x².

• Il nostro esempio x² + 3x - 10 che iniziano con x², quindi possiamo scrivere:
• (x _)(x _)
• Lavoreremo su problemi più complessi nella prossima sezione, inclusi i trinomi che iniziano con termini come 6x² o -x². Nel frattempo, segui queste domande di esempio.

Passaggio 5. Utilizzare il factoring per indovinare gli ultimi termini

Se torni indietro e leggi i passaggi su come moltiplicare PLDT, vedrai che moltiplicando i termini Last produrrà l'ultimo termine nel polinomio (termini che non hanno x). Quindi, per fattorizzare, dobbiamo trovare due numeri che, moltiplicati, produrranno l'ultimo termine.

• Nel nostro esempio x² + 3x - 10, l'ultimo termine è -10.
• Quali sono i fattori di -10? Quale numero viene moltiplicato per -10?
• Ci sono diverse possibilità: -1 per 10, 1 per -10, -2 per 5 o 2 per -5. Scrivi queste coppie da qualche parte per ricordarle.
• Non cambiare ancora la nostra risposta. La nostra risposta dovrebbe essere ancora così: (x _)(x _).

Passaggio 6. Testare le possibilità che corrispondono al prodotto Esterno e Interno

Abbiamo ristretto gli ultimi termini a poche possibilità. Usa il sistema di prova per testare ogni possibilità, moltiplicando i termini Esterno e Interno e confrontando il prodotto con il nostro trinomio. Per esempio:

• Il nostro problema originale aveva il termine "x" a 3x, quindi i risultati dei nostri test dovrebbero corrispondere a questo termine.
• Test -1 e 10: (x-1)(x+10). Esterno + Interno = 10x - x = 9x. Sbagliato.
• Test 1 e -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. Questo è sbagliato. Infatti, se provi -1 e 10, scoprirai che 1 e -10 sono l'opposto della risposta precedente: -9x invece di 9x.
• Prove -2 e 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Il risultato corrisponde al polinomio iniziale, quindi ecco la risposta corretta: (x-2)(x+5).
• In casi semplici come questo, se non hai una costante davanti al termine x², puoi usare il modo rapido: basta sommare i due fattori e mettere una "x" dietro di esso (-2+5 → 3x). Tuttavia, questo metodo non funziona per problemi più complessi, quindi è meglio ricordare la "strada lunga" descritta sopra.

Metodo 2 di 3: fattorizzazione di trinomi più complessi

Passaggio 1. Utilizzare la fattorizzazione semplice per semplificare i problemi più complessi

Ad esempio, devi fattorizzare 3x² + 9x - 30. Trova un numero che possa fattorizzare tutti e tre i termini ("maggiore fattore comune" o GCF). In questo caso, il GCF è 3:

• 3x² = (3)(x²)
• 9x = (3)(3x)
• -30 = (3)(-10)
• Quindi, 3x² + 9x - 30 = (3)(x²+3x-10). Possiamo scomporre il nuovo trinomio usando i passaggi nella sezione precedente. La nostra risposta finale sarà (3)(x-2)(x+5).

Passaggio 2. Cerca fattori più complicati

A volte, la fattorizzazione può coinvolgere una variabile, oppure potrebbe essere necessario scomporre più volte per trovare l'espressione più semplice possibile. Ecco alcuni esempi:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 anni)(X² + 7x + 12)
• X⁴ + 11x³ - 26x² = (X²)(X² +11x - 26)
• -X² + 6x - 9 = (-1)(X² - 6x + 9)
• Non dimenticare di rifattorizzare il nuovo trinomio, utilizzando i passaggi del Metodo 1. Controlla il tuo lavoro e cerca esempi di problemi simili nelle domande di esempio in fondo a questa pagina.

Passaggio 3. Risolvi i problemi con un numero davanti a x².

Alcuni trinomi quadratici non possono essere ridotti al tipo più semplice di problema. Impara a risolvere problemi come 3x² + 10x + 8, quindi esercitati da solo con le domande di esempio in fondo a questa pagina:

• Imposta la nostra risposta come: (_ _)(_ _)
• I nostri termini "Primi" avranno ciascuno una x e moltiplicandoli si ottiene 3x². C'è solo una possibilità: (3x _)(x _).
• Elenca i fattori di 8. Le probabilità sono 1 per 8 o 2 per 4.
• Prova questa possibilità usando i termini Esterno e Interno. Nota che l'ordine dei fattori è molto importante perché il termine esterno viene moltiplicato per 3x invece di x. Prova ogni possibilità finché non ottieni Out+In = 10x (dal problema originale):
• (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x no
• (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x no
• (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x no
• (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x sì. Questo è il fattore corretto.

Passaggio 4. Utilizzare la sostituzione per i trinomi di ordine superiore

Il tuo libro di matematica potrebbe sorprenderti con equazioni con potenze elevate, come x⁴, anche dopo aver utilizzato una semplice fattorizzazione per semplificare il problema. Prova a sostituire una nuova variabile che la trasformi in un problema che sai come risolvere. Per esempio:

• X⁵+13x³+36x
• =(x)(x⁴+13x²+36)
• Creiamo una nuova variabile. Diciamo y = x² e metti dentro:
• (x)(y²+13 anni+36)
• =(x)(y+9)(y+4). Ora, riconvertilo nella variabile iniziale:
• =(x)(x²+9)(x²+4)
• = (x)(x±3)(x±2)

Metodo 3 di 3: fattorizzazione di casi speciali

Passaggio 1. Trova i numeri primi

Guarda se la costante nel primo o nel terzo termine del trinomio è un numero primo. Un numero primo è divisibile solo per se stesso e per 1, quindi esiste solo una possibile coppia di fattori binomiali.

• Ad esempio, in x² + 6x + 5, 5 è un numero primo, quindi il binomio deve essere della forma (_ 5)(_ 1).
• Nel problema del 3x²+10x+8, 3 è un numero primo, quindi il binomio deve essere della forma (3x _)(x _).
• Per domande 3x²+4x+1, sia 3 che 1 sono numeri primi, quindi l'unica soluzione possibile è (3x+1)(x+1). (Dovresti comunque moltiplicare questo numero per verificare la tua risposta perché alcune espressioni non possono essere affatto fattorizzate, ad esempio 3x²+100x+1 non ha alcun fattore.)

Passaggio 2. Scopri se il trinomio è un quadrato perfetto

Un trinomio quadrato perfetto può essere scomposto in due binomi identici e il fattore è solitamente scritto come (x+1)² e non (x+1)(x+1). Ecco alcuni esempi che tendono a comparire nelle domande:

• X²+2x+1=(x+1)², e x²-2x+1=(x-1)²
• X²+4x+4=(x+2)², e x²-4x+4=(x-2)²
• X²+6x+9=(x+3)², e x²-6x+9=(x-3)²
• Trinomio quadrato perfetto nella forma a x² + bx + c ha sempre termini a e c che sono quadrati perfetti positivi (come 1, 4, 9, 16 o 25) e un termine b (positivo o negativo) che è uguale a 2(√a * √c).

Passaggio 3. Scopri se un problema non ha soluzione

Non tutti i trinomi possono essere scomposti. Se non puoi fattorizzare un trinomio quadratico (ax²+bx+c), usa la formula quadratica per trovare la risposta. Se l'unica risposta è la radice quadrata di un numero negativo, non esiste una soluzione numerica reale, quindi il problema non ha fattori.

Per i trinomi non quadrati, utilizzare il criterio di Eisenstein, descritto nella sezione Suggerimenti

Risposte e domande di esempio

1. Risposte alle domande sul "factoring complicato".

   Queste sono le domande del passaggio "fattori più complicati". Abbiamo semplificato i problemi rendendoli più semplici, quindi prova a risolverli utilizzando i passaggi del metodo 1, quindi controlla il tuo lavoro qui:

   • (2y)(x² + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
   • (X²)(X² + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
   • (-1)(x² - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3)²

2. Prova problemi di factoring più complessi.

   Questi problemi hanno lo stesso fattore in ogni termine che deve essere scomposto per primo. Blocca gli spazi dopo il segno di uguale per vedere le risposte in modo da poter controllare il tuo lavoro:

   • 3x³+3x²-6x = (3x)(x+2)(x-1) blocca lo spazio vuoto per vedere la risposta
   • -5x³sì²+30x²sì²-25 anni²x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)

3. Esercitati con le domande. Questi problemi non possono essere scomposti in equazioni più semplici, quindi dovrai trovare la risposta nella forma (_x + _)(_x + _) usando tentativi ed errori:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5)(x-1) blocca per vedere la risposta
   • 9x²+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)² (Suggerimento: potresti voler provare più di una coppia di fattori per 9x.)

   Suggerimenti

   • Se non riesci a capire come fattorizzare un trinomio quadratico (ax²+bx+c), puoi usare la formula quadratica per trovare x.

   • Sebbene non sia necessario sapere come eseguire questa operazione, è possibile utilizzare i criteri di Eisenstein per determinare rapidamente se un polinomio non può essere semplificato e scomposto in fattori. Questo criterio si applica a qualsiasi polinomio, ma è meglio utilizzato per i trinomi. Se esiste un numero primo p che divide equamente gli ultimi due termini e soddisfa le seguenti condizioni, allora il polinomio non può essere semplificato:

     • I termini costanti (senza variabili) sono multipli di p ma non multipli di p².
     • Il prefisso (ad esempio, a in ax²+bx+c) non è un multiplo di p.
     • Ad esempio, 14x² +45x +51 non può essere semplificato perché esiste un numero primo (3) che può essere divisibile sia per 45 che per 51, ma non divisibile per 14, e 51 non è divisibile per 3².

   Avvertimento

   Mentre questo è vero per i trinomi quadratici, il trinomio che può essere scomposto in fattori non è necessariamente il prodotto di due binomi. Ad esempio, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2)(x² - 5x + 23).