Nei giorni precedenti all'invenzione delle calcolatrici, studenti e professori dovevano calcolare manualmente le radici quadrate. Sono stati sviluppati diversi modi per superare questo difficile processo. Alcuni modi danno una stima approssimativa e altri danno un valore esatto. Per imparare a trovare la radice quadrata di un numero utilizzando semplici operazioni, vedere il passaggio 1 di seguito per iniziare.
Fare un passo
Metodo 1 di 2: utilizzo della fattorizzazione primaria
Passaggio 1. Dividi il tuo numero in fattori quadrati perfetti
Questo metodo utilizza i fattori di un numero per trovare la radice quadrata del numero (a seconda del numero, la risposta può essere un numero esatto o un'approssimazione). I fattori di un numero sono un insieme di altri numeri che, moltiplicati, producono quel numero. Ad esempio, potresti dire che i fattori di 8 sono 2 e 4 perché 2 × 4 = 8. Nel frattempo, i quadrati perfetti sono numeri interi che sono il prodotto di altri numeri interi. Ad esempio, 25, 36 e 49 sono quadrati perfetti perché sono rispettivamente 5.2, 62e 72. Come avrai intuito, i fattori quadrati perfetti sono fattori che sono anche quadrati perfetti. Per iniziare a trovare la radice quadrata attraverso la scomposizione in fattori primi, prova prima a semplificare il tuo numero ai suoi fattori quadrati perfetti.
- Usiamo un esempio. Vogliamo trovare manualmente la radice quadrata di 400. Per iniziare, divideremo il numero nei suoi fattori quadrati perfetti. Poiché 400 è un multiplo di 100, sappiamo che 400 è divisibile per 25: un quadrato perfetto. Con una rapida divisione delle ombre, troviamo che 400 diviso 25 è uguale a 16. Casualmente, anche 16 è un quadrato perfetto. Quindi, i fattori quadrati perfetti di 400 sono 25 e 16 perché 25 × 16 = 400.
- Possiamo scriverlo come: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
Passaggio 2. Trova la radice quadrata dei tuoi fattori quadrati perfetti
La proprietà di moltiplicazione della radice quadrata afferma che per qualsiasi numero aeb, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b). A causa di questa proprietà, ora possiamo trovare la radice quadrata dei nostri fattori quadrati perfetti e moltiplicarli per ottenere la nostra risposta.
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Nel nostro esempio, troveremo le radici quadrate di 25 e 16. Vedi sotto:
- Radice (25 × 16)
- Radice(25) × Radice(16)
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5 × 4 =
Passaggio 20.
Passaggio 3. Se il tuo numero non può essere scomposto perfettamente, semplifica la risposta nella sua forma più semplice
Nella vita reale, spesso i numeri di cui hai bisogno per trovare la radice quadrata non sono numeri interi piacevoli con fattori quadrati perfetti ovvi come 400. In questi casi, è possibile che non riusciamo a trovare la risposta giusta come un numero intero. Tuttavia, trovando quanti più fattori quadrati perfetti riesci a trovare, puoi trovare la risposta sotto forma di una radice quadrata più piccola, più semplice e più facile da calcolare. Per fare ciò, riduci il tuo numero a una combinazione di fattori quadrati perfetti e fattori quadrati imperfetti, quindi semplifica.
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Usiamo la radice quadrata di 147 come esempio. 147 non è un prodotto di due quadrati perfetti, quindi non possiamo ottenere il valore intero esatto come sopra. Tuttavia, 147 è il prodotto di un quadrato perfetto e un altro numero – 49 e 3. Possiamo usare queste informazioni per scrivere la nostra risposta nella sua forma più semplice come segue:
- Radice(147)
- = Radice (49 × 3)
- = Quadrato(49) × Quadrato(3)
- = 7 × Radice(3)
Passaggio 4. Se necessario, stimare
Con la tua radice quadrata nella sua forma più semplice, di solito è abbastanza facile ottenere una stima approssimativa della risposta numerica indovinando il valore della radice quadrata rimanente e moltiplicandolo. Un modo per guidare la tua ipotesi è cercare i quadrati perfetti che siano maggiori e minori del numero nella tua radice quadrata. Noterai che il valore decimale del numero nella tua radice quadrata è compreso tra i due numeri, quindi puoi indovinare il valore tra i due numeri.
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Torniamo al nostro esempio. perché 22 = 4 e 12 = 1, sappiamo che Root(3) è compreso tra 1 e 2, probabilmente più vicino a 2 che a 1. Stimiamo 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Se controlliamo la nostra risposta sulla calcolatrice, possiamo vedere che la nostra risposta è abbastanza vicina alla risposta reale che è 12, 13.
Questo vale anche per i numeri più grandi. Ad esempio, Root(35) può essere approssimato tra 5 e 6 (possibilmente più vicino a 6). 52 = 25 e 62 = 36. 35 è compreso tra 25 e 36, quindi la radice quadrata deve essere compresa tra 5 e 6. Poiché 35 è solo uno in meno di 36, possiamo dire con sicurezza che la radice quadrata è leggermente inferiore a 6. Verificando con una calcolatrice dacci la risposta è circa 5, 92 – abbiamo ragione.
Passaggio 5. In alternativa, riduci il numero ai fattori meno comuni come primo passaggio
Trovare i fattori dei quadrati perfetti non è necessario se puoi facilmente determinare i fattori primi di un numero (fattori che sono anche numeri primi). Scrivi il tuo numero in termini di fattori meno comuni. Quindi, trova le coppie di numeri primi che corrispondono ai tuoi fattori. Quando trovi due fattori primi uguali, rimuovi questi due numeri dalla radice quadrata e posiziona uno di questi numeri fuori dalla radice quadrata.
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Ad esempio, trova la radice quadrata di 45 usando questo metodo. Sappiamo che 45 × 5 e sappiamo che sotto 9 = 3 × 3. Quindi, possiamo scrivere la nostra radice quadrata in termini di fattori come questo: Sqrt(3 × 3 × 5). Basta rimuovere entrambi i 3 e mettere un 3 fuori dalla radice quadrata per semplificare la radice quadrata nella sua forma più semplice: (3) Radice (5).
Da qui, sarà facile stimare.
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Come ultimo problema di esempio, proviamo a trovare la radice quadrata di 88:
- Radice(88)
- = Radice(2 × 44)
- = Radice(2 × 4 × 11)
- = Radice(2 × 2 × 2 × 11). Abbiamo circa 2 nella nostra radice quadrata. Poiché 2 è un numero primo, possiamo rimuovere una coppia di 2 e metterne uno fuori dalla radice quadrata.
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= La nostra radice quadrata nella sua forma più semplice è (2) Sqrt(2 × 11) o (2) Radice(2) Radice (11).
Da qui, possiamo stimare Sqrt(2) e Sqrt(11) e trovare la risposta approssimativa come vogliamo.
Metodo 2 di 2: trovare manualmente la radice quadrata
Utilizzo dell'algoritmo a divisione lunga
Passaggio 1. Separa le cifre del tuo numero in coppie
Questo metodo utilizza un processo simile alla divisione lunga per trovare l'esatta radice quadrata cifra per cifra. Sebbene non sia obbligatorio, potresti trovare più facile eseguire questo processo se organizzi visivamente il tuo posto di lavoro e i tuoi numeri in parti facili da lavorare. Per prima cosa, disegna una linea verticale che divide l'area di lavoro in due sezioni, quindi traccia una linea orizzontale più corta in alto a destra per dividere la sezione destra in una sezione superiore più piccola e una sezione inferiore più grande. Quindi, separa le tue cifre in coppie, iniziando dal punto decimale. Ad esempio, seguendo questa regola, 79.520.789.182, 47897 diventa "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Scrivi il tuo numero in alto a sinistra.
Ad esempio, proviamo a calcolare la radice quadrata di 780, 14. Disegna due linee per dividere il tuo posto di lavoro come sopra e scrivi "7 80. 14" in alto a sinistra. Non importa se il numero più a sinistra è un singolo numero e non una coppia di numeri. Scriverai la tua risposta (radice quadrata 780, 14) in alto a destra
Passaggio 2. Trova l'intero più grande il cui valore quadrato è minore o uguale al numero (o coppia di numeri) all'estrema sinistra
Inizia dall'estrema sinistra del tuo numero, sia coppie di numeri che numeri singoli. Trova il quadrato perfetto più grande che è minore o uguale a questo numero, quindi trova la radice quadrata di questo quadrato perfetto. Questo numero è n. Scrivi n in alto a destra e scrivi il quadrato di n nel quadrante in basso a destra.
Nel nostro esempio, l'estrema sinistra è il numero 7. Perché sappiamo che 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, possiamo dire che n = 2 perché 2 è l'intero più grande il cui valore quadrato è minore o uguale a 7. Scrivi 2 nel quadrante in alto a destra. Questa è la prima cifra della nostra risposta. Scrivi 4 (valore quadrato di 2) nel quadrante in basso a destra. Questo numero è importante per il passaggio successivo.
Passaggio 3. Sottrai il numero appena calcolato dalla coppia più a sinistra
Come per la divisione lunga, il passaggio successivo consiste nel sottrarre il valore del quadrato appena trovato dalla parte appena analizzata. Scrivi questo numero sotto la prima parte e sottrailo, scrivendo sotto la tua risposta.
- Nel nostro esempio, scriveremo 4 sotto 7, quindi lo sottraiamo. Questa sottrazione fornisce una risposta
Passaggio 3..
Passaggio 4. Rilascia la coppia successiva
Sposta in basso la sezione successiva del numero per il quale stai cercando la radice quadrata, accanto al valore di sottrazione che hai appena trovato. Quindi, moltiplica per due il numero nel quadrante in alto a destra e scrivi il risultato nel quadrante in basso a destra. Accanto al numero che hai appena annotato, lascia uno spazio per il problema di moltiplicazione che farai nel passaggio successivo scrivendo '"_×_="'.
Nel nostro esempio, la prossima coppia dei nostri numeri è "80". Scrivi "80" accanto a 3 nel quadrante sinistro. Quindi, moltiplica il numero in alto a destra per due. Questo numero è 2, quindi 2 × 2 = 4. Scrivi "'4"' nel quadrante in basso a destra, seguito da _×_=.
Passaggio 5. Riempi gli spazi vuoti nel quadrante destro
Devi riempire tutti gli spazi che hai appena scritto nel quadrante di destra con lo stesso numero intero. Questo numero intero deve essere il numero intero più grande che rende il prodotto nel quadrante destro minore o uguale al numero attualmente a sinistra.
Nel nostro esempio, riempiamo gli spazi vuoti con 8, risultando in 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Questo valore è maggiore di 384. Quindi, 8 è troppo grande, ma 7 potrebbe funzionare. Scrivi 7 negli spazi vuoti e risolvi: 4(7) × 7 = 329. 7 è un numero corretto perché 329 è minore di 380. Scrivi 7 nel quadrante in alto a destra. Questa è la seconda cifra della radice quadrata di 780, 14
Passaggio 6. Sottrai il numero appena calcolato dal numero ora a sinistra
Continua con la catena di sottrazione usando il metodo della divisione lunga. Prendi il prodotto del problema nel quadrante di destra e sottrailo dal numero che ora è a sinistra, mentre scrivi le tue risposte qui sotto.
Nel nostro esempio, sottrarremo 329 da 380, che dà il risultato 51.
Passaggio 7. Ripetere il passaggio 4
Ricava la parte successiva del numero di cui stai cercando la radice quadrata. Quando raggiungi il punto decimale nel tuo numero, scrivi il punto decimale nella tua risposta nel quadrante in alto a destra. Quindi, moltiplica il numero in alto a destra per 2 e scrivilo accanto al problema di moltiplicazione vuoto ("_ × _") come sopra.
Nel nostro esempio, poiché ora abbiamo a che fare con il punto decimale in 780, 14, scrivi il punto decimale dopo la nostra risposta corrente in alto a destra. Quindi, abbassa la coppia successiva (14) nel quadrante sinistro. Il doppio del numero in alto a destra (27) è uguale a 54, quindi scrivi "54 _×_=" nel quadrante in basso a destra
Passaggio 8. Ripetere i passaggi 5 e 6
Trova la cifra più grande per riempire gli spazi vuoti a destra, che dà una risposta minore o uguale al numero attualmente a sinistra. Quindi, risolvi il problema.
Nel nostro esempio, 549 × 9 = 4941, che è minore o uguale al numero a sinistra (5114). 549 × 10 = 5490 è troppo grande, quindi 9 è la tua risposta. Scrivi 9 come cifra successiva nel quadrante in alto a destra e sottrai il prodotto dal numero a sinistra: 5114 meno 4941 uguale a 173
Passaggio 9. Per continuare a contare le cifre, abbassare la coppia di zeri a sinistra e ripetere i passaggi 4, 5 e 6
Per una maggiore precisione, continua questo processo per trovare centinaia, migliaia e più posti nella tua risposta. Continua a usare questo ciclo finché non trovi la cifra decimale che desideri.
Capire il Processo
Passaggio 1. Immagina il numero di cui hai calcolato la radice quadrata come l'area S di un quadrato
Poiché l'area di un quadrato è P2 dove P è la lunghezza di uno dei lati, quindi cercando di trovare la radice quadrata del tuo numero, stai effettivamente cercando di calcolare la lunghezza P di quel lato del quadrato.
Passaggio 2. Determinare le variabili delle lettere per ogni cifra della risposta
Imposta la variabile A come prima cifra di P (la radice quadrata che stiamo cercando di calcolare). B sarà la seconda cifra, C la terza cifra e così via.
Passaggio 3. Determinare le variabili delle lettere per ciascuna parte del numero iniziale
Imposta variabile Sun per la prima coppia di cifre in S (il tuo valore iniziale), SB per la seconda coppia di cifre, ecc.
Passaggio 4. Comprendi la relazione tra questo metodo e la lunga divisione
Questo metodo per trovare la radice quadrata è fondamentalmente un lungo problema di divisione che divide il tuo numero iniziale per la radice quadrata, dandoti la radice quadrata della risposta. Proprio come nel problema della divisione lunga, sei interessato solo alla cifra successiva in ogni passaggio. In questo modo, sei interessato solo alle due cifre successive in ogni passaggio (che è la cifra successiva in ogni passaggio per la radice quadrata).
Passaggio 5. Trova il numero più grande il cui valore quadrato è minore o uguale a Sun.
La prima cifra di A nella nostra risposta è l'intero più grande il cui valore quadrato non supera Sun (cioè A in modo che A² Sa < (A+1)²). Nel nostro esempio, Sun = 7 e 2² 7 < 3², quindi A = 2.
Nota che, ad esempio, se volessi dividere 88962 per 7 usando una divisione lunga, i primi passaggi sono praticamente gli stessi: vedrai la prima cifra di 88962 (che è 8) e stai cercando la cifra più grande che, moltiplicato per 7, è minore o uguale a 8 Fondamentalmente, stai cercando d in modo che 7×d 8 < 7×(d+1). In questo caso, d sarà uguale a 1
Passaggio 6. Immagina il valore del quadrato di cui stai per iniziare a lavorare
La tua risposta, la radice quadrata del tuo numero di partenza, è P, che descrive la lunghezza del quadrato con area S (il tuo numero di partenza). I tuoi voti per A, B, C, rappresentano le cifre nel valore di P. Un altro modo per dirlo è 10A + B = P (per una risposta a due cifre), 100A + 10B + C = P (per una risposta a tre cifre). risposta in cifre), ecc.
Nel nostro esempio, (10A+B)² = P2 = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ricorda che 10A+B rappresenta la nostra risposta, P, con B nella posizione delle unità e A nella posizione delle decine. Ad esempio, con A=1 e B=2, allora 10A+B è uguale a 12. (10A+B)² è l'area totale del quadrato, mentre 100A² è l'area della piazza più grande al suo interno, B² è l'area del quadrato più piccolo in esso, e 10A×B è l'area dei due rettangoli rimanenti. Facendo questo lungo e contorto processo, troviamo l'area totale di un quadrato sommando le aree dei quadrati e dei rettangoli all'interno.
Passaggio 7. Sottrai A² da Sun.
Diminuisce di una coppia di cifre (SB) di S. Valore di Sun SB vicino all'area totale del quadrato, che hai appena usato per sottrarre il quadrato interno più grande. Il resto può essere pensato come il numero N1, che abbiamo ottenuto nel passaggio 4 (N1 = 380 nel nostro esempio). N1 è uguale a 2&x:10A×B + B² (area dei due rettangoli più l'area del quadrato più piccolo).
Passaggio 8. Trova N1 = 2×10A×B + B², che è anche scritto come N1 = (2×10A + B) × B
Nel nostro esempio, conosci già N1 (380) e A(2), quindi devi trovare B. Molto probabilmente B non è un numero intero, quindi devi davvero trovare l'intero più grande B tale che (2×10A + B) × B N1. Quindi hai: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
Passaggio 9. Fine
Per risolvere questa equazione, moltiplica A per 2, sposta il risultato nella posizione delle decine (l'equivalente di moltiplicare per 10), metti B nella posizione delle unità e moltiplica il numero per B. In altre parole, risolvi (2×10A + B) × B. Questo è esattamente quello che fai quando scrivi "N_×_=" (con N=2×A) nel quadrante in basso a destra nel passaggio 4. Nel passaggio 5, trovi l'intero B più grande che corrisponde a il numero sotto di esso in modo che (2× 10A + B) × B N1.
Passaggio 10. Sottrai l'area (2×10A + B) × B dall'area totale
Questa sottrazione risulta nell'area S-(10A+B)² che non è stata calcolata (e che sarà utilizzata per calcolare la cifra successiva allo stesso modo).
Passaggio 11. Per calcolare la cifra successiva, C, ripetere il processo
Abbassa la coppia successiva (SC) di S per ottenere N2 a sinistra, e trova la C più grande in modo da avere (2×10×(10A+B)+C) × C N2 (equivalente a scrivere due volte il numero di due cifre "AB" seguito da "_× _=". Trova la cifra corrispondente più grande negli spazi vuoti, che dà una risposta minore o uguale a N2, come prima.
Suggerimenti
- Spostare un punto decimale di un multiplo di due cifre in un numero (un multiplo di 100), significa spostare un punto decimale di un multiplo di una cifra nella sua radice quadrata (un multiplo di 10).
- In questo esempio, 1,73 può essere considerato un "resto": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Questo metodo può essere utilizzato per qualsiasi base, non solo per la base 10 (decimale).
- Puoi usare il calcolo che è più conveniente per te. Alcune persone scrivono il risultato sopra il numero iniziale.
- Un modo alternativo per usare le frazioni ripetute è seguire questa formula: z = (x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Ad esempio, per calcolare la radice quadrata di 780, 14, l'intero il cui valore al quadrato è più vicino a 780, 14 è 28, quindi z=780, 14, x=28 e y=-3, 86. Inserimento dei valori e calcolando le stime solo per x + y/(2x) si ottiene (in termini più semplici) 78207/20800 ovvero circa 27, 931(1); prossimo mandato, 4374188/156607 o circa 27, 930986(5). Ogni termine aggiunge circa 3 decimali alla precisione del precedente numero di decimali.
