3 modi per risolvere equazioni cubiche

2024 Autore: Jason Gerald | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-16 19:37

Quando trovi per la prima volta l'equazione cubica (che è della forma ax ³ + bx ² + cx + d = 0), forse pensi che il problema sarà difficile da risolvere. Ma sappi che risolvere equazioni cubiche esiste da secoli! Questa soluzione, scoperta dai matematici italiani Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano nel 1500, è una delle prime formule conosciute nell'antica Grecia e a Roma. Risolvere le equazioni cubiche può essere un po' difficile, ma con il giusto approccio (e una conoscenza sufficiente), anche le equazioni cubiche più difficili possono essere risolte.

Fare un passo

Metodo 1 di 3: risoluzione utilizzando equazioni quadratiche

Passaggio 1. Controlla se la tua equazione cubica ha una costante

Come detto sopra, la forma dell'equazione cubica è ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, e il valore di d può essere 0 senza influenzare la forma di questa equazione cubica; questo significa fondamentalmente che l'equazione cubica non deve sempre includere il valore di bx ², cx o d per essere un'equazione cubica. Per iniziare a utilizzare questo modo abbastanza semplice di risolvere equazioni cubiche, controlla se la tua equazione cubica ha una costante (o un valore di d). Se la tua equazione non ha una costante o un valore per d, puoi usare un'equazione quadratica per trovare la risposta all'equazione cubica dopo pochi passaggi.

D'altra parte, se la tua equazione ha un valore costante, avrai bisogno di un'altra soluzione. Vedere i passaggi seguenti per altri approcci

Passaggio 2. Fattorizzare il valore x dall'equazione cubica

Poiché la tua equazione non ha un valore costante, tutti i componenti in essa contenuti hanno la variabile x. Ciò significa che questo valore di x può essere scomposto in fattori dall'equazione per semplificarlo. Fai questo passaggio e riscrivi la tua equazione cubica nella forma x (ax ² + bx + c).

Ad esempio, supponiamo che l'equazione cubica originale qui sia 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Fattorizzando una variabile x da questa equazione, otteniamo l'equazione x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Passaggio 3. Utilizzare le equazioni quadratiche per risolvere le equazioni tra parentesi

Potresti notare che alcune delle tue nuove equazioni, che sono racchiuse tra parentesi, hanno la forma di un'equazione quadratica (ax ² + bx + c). Ciò significa che possiamo trovare il valore necessario per rendere questa equazione uguale a zero inserendo a, b e c nella formula dell'equazione quadratica ({- b +/-√ (b ²- 4 ac)}/2 a). Esegui questi calcoli per trovare due risposte alla tua equazione cubica.

• Nel nostro esempio, inserisci i valori di a, b e c (3, -2 e 14, rispettivamente) nell'equazione quadratica come segue:

  {- b +/-√ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Risposta 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i }/6

• Risposta 2:

  {2 - 12,8 i }/6

Passaggio 4. Usa gli zeri e la tua risposta alla tua equazione quadratica come risposta alla tua equazione cubica

Le equazioni quadratiche avranno due risposte, mentre le equazioni cubiche hanno tre risposte. Conosci già due risposte su tre; che si ottiene dalla parte "quadrata" dell'equazione tra parentesi. Se la tua equazione cubica può essere risolta con la "fattorizzazione" in questo modo, la tua terza risposta è quasi sempre 0. Sicuro! Hai appena risolto un'equazione cubica.

La ragione che fa funzionare questo metodo è il fatto fondamentale che "qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero". Quando scomponi la tua equazione nella forma x (ax ² + bx + c) = 0, in pratica basta dividerlo in due "parti"; una parte è la variabile x sul lato sinistro e l'altra parte è l'equazione quadratica tra parentesi. Se una di queste due parti è zero, anche l'intera equazione sarà zero. Quindi, le due risposte all'equazione quadratica tra parentesi, che la renderebbero zero, sono le risposte all'equazione cubica, così come 0 stesso - che renderebbe zero anche la parte sul lato sinistro.

Metodo 2 di 3: trovare risposte intere utilizzando un elenco di fattori

Passaggio 1. Assicurati che la tua equazione cubica abbia un valore costante

Sebbene i metodi sopra descritti siano abbastanza facili da usare perché non è necessario imparare una nuova tecnica di calcolo per usarli, non sempre ti aiuteranno a risolvere le equazioni cubiche. Se la tua equazione cubica è della forma ax ³ + bx ² + cx + d = 0, dove il valore di d non è uguale a zero, il metodo di "fattorizzazione" sopra non funziona, quindi dovrai usare uno dei metodi in questa sezione per risolverlo.

Ad esempio, supponiamo di avere l'equazione 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. In questo caso, per ottenere zero a destra dell'equazione, dobbiamo aggiungere 6 a entrambi i membri. Dopodiché, otterremo una nuova equazione 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, con un valore di d = 6, quindi non possiamo usare il metodo di "fattorizzazione" come nel metodo precedente.

Passaggio 2. Trova i fattori di a e d

Per risolvere la tua equazione cubica, inizia trovando il fattore di a (il coefficiente di x ³) e d (il valore costante alla fine dell'equazione). Ricorda, i fattori sono numeri che possono essere moltiplicati tra loro per produrre un certo numero. Ad esempio, poiché puoi ottenere 6 moltiplicando 6 × 1 e 2 × 3, 1, 2, 3 e 6 sono fattori di 6.

• Nel problema di esempio che stiamo usando, a = 2 e d = 6. Il fattore 2 è 1 e 2. Mentre il fattore 6 è 1, 2, 3 e 6.

  

  Passaggio 3. Dividi il fattore a per il fattore d

  Quindi, elenca i valori che ottieni dividendo ogni fattore di a per ogni fattore di d. Questo calcolo di solito si traduce in molti valori frazionari e diversi numeri interi. Il valore intero per risolvere la tua equazione cubica è uno degli interi ottenuti dal calcolo.

  Nella nostra equazione, dividi il valore del fattore di a (1, 2) per il fattore di d (1, 2, 3, 6) e ottieni i seguenti risultati: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, e 2/3. Quindi, aggiungi valori negativi all'elenco e otteniamo: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 e -2/3. La risposta all'equazione cubica, che è un numero intero, è nella lista.

  

  Passaggio 4. Usa la divisione sintetica per controllare manualmente le tue risposte

  Una volta che hai un elenco di valori come quello sopra, puoi cercare i valori interi che sono le risposte alla tua equazione cubica inserendo manualmente ciascun numero intero e trovare quale valore restituisce zero. Tuttavia, se non vuoi perdere tempo a farlo, c'è un modo per farlo più rapidamente, ovvero con un calcolo chiamato divisione sintetica. Fondamentalmente, divideresti il tuo valore intero per i coefficienti originali di a, b, c e d nella tua equazione cubica. Se il resto è zero, quel valore è una delle risposte alla tua equazione cubica.

  • La divisione sintetica è un argomento complesso: vedere il collegamento sottostante per ulteriori informazioni. Ecco un esempio di come trovare una delle risposte alla tua equazione cubica con divisione sintetica:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Poiché otteniamo il risultato finale uguale a 0, sappiamo che una delle risposte intere alla nostra equazione cubica è - 1.

  Metodo 3 di 3: utilizzo dell'approccio discriminante

  

  Passaggio 1. Annotare le equazioni a, b, c e d

  Per trovare la risposta all'equazione cubica in questo modo, faremo molti calcoli con i coefficienti nella nostra equazione. Per questo motivo, è una buona idea annotare i valori di a, b, c e d prima di dimenticare uno qualsiasi dei valori.

  Ad esempio, per l'equazione x ³ - 3 x ² + 3 x - 1, scrivilo come a = 1, b = -3, c = 3 e d = -1. Non dimenticare che quando la variabile x non ha coefficiente, il suo valore è 1.

  

  Passaggio 2. Calcola 0 = b ² - 3 condizionatori d'aria.

  L'approccio discriminante per trovare risposte alle equazioni cubiche richiede calcoli complessi, ma se segui attentamente i passaggi, può essere molto utile per risolvere equazioni cubiche difficili da risolvere in altri modi. Per cominciare, trova il valore di 0, che è il primo valore significativo dei vari di cui abbiamo bisogno, inserendo il valore appropriato nella formula b ² - 3 condizionatori d'aria.

  • Nell'esempio che stiamo usando, lo risolveremo come segue:

    B ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Passaggio 3. Calcola 1= 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² D.

  Il successivo valore significativo di cui abbiamo bisogno, 1, richiede un calcolo più lungo, ma può essere trovato allo stesso modo di 0. Inserisci il valore appropriato nella formula 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d per ottenere il valore di 1.

  • In questo esempio, lo risolviamo come segue:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Passaggio 4. Calcola = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Successivamente, calcoliamo il valore "discriminante" dei valori 0 e 1. Il discriminante è un numero che fornisce informazioni sulla radice del polinomio (potresti aver memorizzato inconsciamente la formula discriminante quadratica: b ² - 4 condizionatori). Nel caso di un'equazione cubica, se il valore del discriminante è positivo, l'equazione ha tre risposte in numeri reali. Se il valore discriminante è uguale a zero, l'equazione ha una o due risposte numeriche reali e alcune delle risposte hanno lo stesso valore. Se il valore è negativo, l'equazione ha un solo numero reale, perché il grafico dell'equazione intersecherà sempre l'asse x almeno una volta.)

  • In questo esempio, poiché sia 0 che 1 = 0, trovare il valore di è molto semplice. Dobbiamo solo calcolarlo nel modo seguente:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, quindi la nostra equazione ha 1 o 2 risposte.

  

  Passaggio 5. Calcola C = ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  L'ultimo valore che è importante per noi ottenere è il valore di C. Questo valore ci permette di ottenere tutte e tre le radici della nostra equazione cubica. Risolvi come al solito, inserendo i valori di 1 e 0 nella formula.

  • In questo esempio, otterremo il valore di C da:

    ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Passaggio 6. Calcola le tre radici dell'equazione con la tua variabile

  La radice (risposta) della tua equazione cubica è determinata dalla formula (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, dove u = (-1 + (-3))/2 e n è uguale a 1, 2 o 3. Inserisci i tuoi valori nella formula per risolverli: potrebbero essere necessari alcuni calcoli, ma dovresti ottenere tutte e tre le risposte dell'equazione cubica!

  • In questo esempio, potremmo risolverlo controllando le risposte quando n è uguale a 1, 2 e 3. La risposta che otteniamo da questo calcolo è la possibile risposta alla nostra equazione cubica - qualsiasi valore che inseriamo nell'equazione cubica e dà il stesso risultato con 0, è la risposta corretta. Ad esempio, se otteniamo una risposta uguale a 1 se in uno dei nostri esperimenti di calcolo, inserendo il valore 1 nell'equazione x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 restituisce il risultato finale uguale a 0. Quindi

    Passo 1. è una delle risposte alla nostra equazione cubica.