In un "sistema di equazioni", ti viene chiesto di risolvere due o più equazioni contemporaneamente. Quando le due equazioni hanno due variabili diverse, ad esempio xey, la soluzione può sembrare inizialmente difficile. Fortunatamente, una volta che sai cosa devi fare, puoi semplicemente usare le tue abilità algebriche (e la scienza del calcolo delle frazioni) per risolvere il problema. Impara anche a disegnare queste due equazioni se sei uno studente visivo o se ti viene richiesto dall'insegnante. I disegni ti aiuteranno a identificare l'argomento o a verificare i risultati del tuo lavoro. Tuttavia, questo metodo è più lento degli altri metodi e non può essere utilizzato per tutti i sistemi di equazioni.
Fare un passo
Metodo 1 di 3: utilizzo del metodo di sostituzione
Passaggio 1. Spostare le variabili sul lato opposto dell'equazione
Il metodo di sostituzione inizia "trovando il valore di x" (o qualsiasi altra variabile) in una delle equazioni. Ad esempio, diciamo che l'equazione del problema è 4x + 2y = 8 e 5x + 3y = 9. Inizia lavorando sulla prima equazione. Riordina l'equazione sottraendo 2y su entrambi i lati. Quindi, ottieni 4x = 8 - 2y.
Questo metodo utilizza spesso le frazioni alla fine. Se non ti piace contare le frazioni, prova il metodo di eliminazione di seguito
Passaggio 2. Dividi entrambi i lati dell'equazione per "trovare il valore di x"
Una volta che il termine x (o qualunque variabile tu stia usando) è solo su un lato dell'equazione, dividi entrambi i lati dell'equazione per i coefficienti in modo che rimanga solo la variabile. Come esempio:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2a/4)
- x = 2 - y
Passaggio 3. Inserisci il valore x dalla prima equazione nella seconda equazione
Assicurati di inserirlo nella seconda equazione, invece di quella su cui hai appena lavorato. Sostituisci (sostituisci) la variabile x nella seconda equazione. Quindi, la seconda equazione ora ha solo una variabile. Come esempio:
- È conosciuto x = 2 - y.
- La tua seconda equazione è 5x + 3y = 9.
- Dopo aver scambiato la variabile x nella seconda equazione con il valore x della prima equazione, otteniamo "2 - y": 5(2 - y) + 3y = 9.
Passaggio 4. Risolvi le variabili rimanenti
Ora, la tua equazione ha solo una variabile. Calcola l'equazione con le normali operazioni algebriche per trovare il valore della variabile. Se le due variabili si annullano a vicenda, salta direttamente all'ultimo passaggio. Altrimenti otterrai un valore per una delle variabili:
- 5(2 - y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Se non capisci questo passaggio, impara ad aggiungere le frazioni.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Passaggio 5. Utilizzare la risposta ottenuta per trovare il vero valore di x nella prima equazione
Non fermarti ancora perché i tuoi calcoli non sono ancora finiti. Devi inserire la risposta ottenuta nella prima equazione per trovare il valore delle variabili rimanenti:
- È conosciuto y = -2
- Una delle equazioni nella prima equazione è 4x + 2y = 8. (Puoi usare uno dei due.)
- Sostituisci la variabile y con -2: 4x + 2(-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Passaggio 6. Sapere cosa fare se le due variabili si annullano a vicenda
Quando entri x=3y+2 o una risposta simile alla seconda equazione, il che significa che stai cercando di ottenere un'equazione che ha solo una variabile. A volte, ottieni solo l'equazione privo di variabile. Ricontrolla il tuo lavoro e assicurati di aver inserito (riordinato) l'equazione uno nell'equazione due, invece di tornare alla prima equazione. Quando sei sicuro di non aver fatto nulla di male, scrivi uno dei seguenti risultati:
- Se l'equazione non ha variabili e non è vera (ad esempio, 3 = 5), questo problema non ho risposta. (Quando questo è rappresentato graficamente, queste due equazioni sono parallele e non si incontrano mai.)
- Se l'equazione non ha variabili e Corretta, (es 3 = 3), nel senso che la domanda ha risposte illimitate. L'equazione uno è esattamente la stessa dell'equazione due. (Quando sono rappresentate nel grafico, queste due equazioni sono la stessa linea.)
Metodo 2 di 3: utilizzo del metodo di eliminazione
Passaggio 1. Trova le variabili che si escludono a vicenda
A volte, l'equazione nel problema è già annullarsi a vicenda quando sommato. Ad esempio, se fai l'equazione 3x + 2y = 11 e 5x - 2y = 13, i termini "+2y" e "-2y" si annulleranno a vicenda e rimuoveranno la variabile "y" dall'equazione. Guarda l'equazione nel problema e vedi se ci sono variabili che si annullano a vicenda, come nell'esempio. In caso contrario, vai al passaggio successivo.
Passaggio 2. Moltiplicare l'equazione per uno in modo da rimuovere una variabile
(Salta questo passaggio se le variabili si annullano già a vicenda.) Se l'equazione non ha variabili che si annullano da sole, cambia una delle equazioni in modo che possano annullarsi a vicenda. Dai un'occhiata ai seguenti esempi in modo da poterli capire facilmente:
- Le equazioni nel problema sono 3x - y = 3 e - x + 2y = 4.
- Cambiamo la prima equazione in modo che la variabile sì annullarsi a vicenda. (Puoi usare la variabile X. La risposta finale ottenuta sarà la stessa.)
- Variabile - si nella prima equazione deve essere eliminato da + 2 anni nella seconda equazione. Come, moltiplicare - si con 2.
- Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2, come segue: 2(3x - y)=2(3), così 6x - 2y = 6. Ora, tribù - 2 anni si cancelleranno a vicenda con +2 anni nella seconda equazione.
Passaggio 3. Combina le due equazioni
Il trucco è aggiungere il lato destro della prima equazione al lato destro della seconda equazione e aggiungere il lato sinistro della prima equazione al lato sinistro della seconda equazione. Se eseguita correttamente, una delle variabili si annullerà a vicenda. Proviamo a continuare il calcolo dall'esempio precedente:
- Le tue due equazioni sono 6x - 2y = 6 e - x + 2y = 4.
- Somma i lati sinistri delle due equazioni: 6x - 2 anni - x + 2 anni = ?
- Somma i lati giusti delle due equazioni: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Passaggio 4. Ottieni l'ultimo valore della variabile
Semplifica la tua equazione composta e lavora con l'algebra standard per ottenere il valore dell'ultima variabile. Se, dopo aver semplificato, l'equazione non ha variabili, continuare con l'ultimo passaggio di questa sezione.
Altrimenti, otterrai un valore per una delle variabili. Come esempio:
- È conosciuto 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Variabili di gruppo X e sì insieme: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Semplifica l'equazione: 5x = 10
- Trova il valore x: (5x)/5 = 10/5, ottenere x = 2.
Passaggio 5. Trova il valore di un'altra variabile
Hai trovato il valore di una variabile, ma per quanto riguarda l'altra? Inserisci la tua risposta in una delle equazioni per trovare il valore della variabile rimanente. Come esempio:
- È conosciuto x = 2, e una delle equazioni nel problema è 3x - y = 3.
- Sostituisci la variabile x con 2: 3(2) - y = 3.
- Trova il valore di y nell'equazione: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, così 6 = 3 + y
- 3 = y
Passaggio 6. Sapere cosa fare quando le due variabili si annullano a vicenda
A volte, la combinazione di due equazioni risulta in un'equazione che non ha senso o non aiuta a risolvere il problema. Rivedi il tuo lavoro e, se sei sicuro di non aver fatto nulla di male, scrivi una delle seguenti due risposte:
- Se l'equazione combinata non ha variabili e non è vera (ad esempio, 2 = 7), questo problema non ho risposta. Questa risposta vale per entrambe le equazioni. (Quando questo è rappresentato graficamente, queste due equazioni sono parallele e non si incontrano mai.)
- Se l'equazione combinata non ha variabili e Corretta, (es. 0 = 0), il che significa che la domanda ha risposte illimitate. Queste due equazioni sono identiche tra loro. (Quando sono rappresentate nel grafico, queste due equazioni sono la stessa linea.)
Metodo 3 di 3: Disegna un grafico di equazioni
Passaggio 1. Eseguire questo metodo solo quando richiesto
A meno che tu non stia utilizzando un computer o una calcolatrice grafica, questo metodo può fornire solo risposte approssimative. Il tuo insegnante o il tuo libro di testo potrebbero dirti di usare questo metodo per prendere l'abitudine di disegnare le equazioni come linee. Questo metodo può essere utilizzato anche per verificare la risposta a uno dei metodi precedenti.
L'idea principale è che devi descrivere le due equazioni e trovare il loro punto di intersezione. Il valore di xey in questo punto di intersezione è la risposta al problema
Passaggio 2. Trova i valori y di entrambe le equazioni
Non combinare le due equazioni e modificare ciascuna equazione in modo che il formato sia "y = _x + _". Come esempio:
- La tua prima equazione è 2x + y = 5. Cambia in y = -2x + 5.
- La tua prima equazione è - 3x + 6y = 0. Cambia in 6y = 3x + 0, e semplificare in y = x + 0.
- Se le tue due equazioni sono esattamente le stesse, l'intera linea è l'"intersezione" delle due equazioni. Scrivi risposte illimitate come risposta.
Passaggio 3. Disegna gli assi delle coordinate
Disegna una linea verticale "asse y" e una linea orizzontale "asse x" sulla carta millimetrata. Partendo dal punto in cui i due assi si intersecano (0, 0), annotare le etichette numeriche 1, 2, 3, 4 e così via in sequenza puntando verso l'alto sull'asse y e puntando verso destra sull'asse x. Dopodiché, annota le etichette numeriche -1, -2 e così via in sequenza puntando verso il basso sull'asse y e puntando a sinistra sull'asse x.
- Se non hai la carta millimetrata, usa un righello per assicurarti che la spaziatura tra ogni numero sia esattamente la stessa.
- Se utilizzi numeri grandi o decimali, ti consigliamo di ridimensionare il grafico (ad es. 10, 20, 30 o 0, 1, 0, 2, 0, 3 invece di 1, 2, 3).
Passaggio 4. Disegna il punto di intercetta y per ogni equazione
Se l'equazione è nella forma y = _x + _, puoi iniziare a disegnare un grafico creando il punto in cui la linea dell'equazione si interseca con l'asse y. Il valore di y è sempre lo stesso dell'ultimo numero nell'equazione.
-
Continuando l'esempio precedente, la prima riga (y = -2x + 5) interseca l'asse y in
Passaggio 5.. seconda linea (y = x + 0) interseca l'asse y a 0. (Questi punti sono scritti come (0, 5) e (0, 0) sul grafico.)
- Se possibile, disegna la prima e la seconda linea con penne o matite colorate.
Passaggio 5. Utilizzare la pendenza per continuare la linea
In formato equazione y = _x + _, il numero davanti alla x indica il “livello di pendenza” della linea. Ogni volta che x viene aumentato di uno, il valore di y aumenterà del numero di livelli di pendenza. Usa queste informazioni per trovare i punti per ogni linea sul grafico quando x = 1. (puoi anche inserire x = 1 in ogni equazione e trovare il valore di y.)
- Continuando l'esempio precedente, la linea y = -2x + 5 ha una pendenza di - 2. Nel punto x = 1, la linea si sposta fuori uso di 2 dal punto x = 0. Disegna una linea che congiunga (0, 5) con (1, 3).
- Linea y = x + 0 ha una pendenza di ½. A x = 1, la linea si sposta giro dal punto x=0. Disegna una linea che collega (0, 0) con (1,).
- Se due linee hanno la stessa pendenza, i due non si intersecheranno mai. Quindi, questo sistema di equazioni non ha risposta. Scrivi nessuna risposta come risposta.
Passaggio 6. Continuare a collegare le linee finché le due linee si intersecano
Smetti di lavorare e dai un'occhiata al tuo grafico. se le due linee si sono incrociate, passare al passaggio successivo. In caso contrario, prendi una decisione in base alla posizione delle tue due linee:
- Se le due linee si avvicinano, continua a collegare i punti delle tue strisce.
- Se le due linee si allontanano l'una dall'altra, torna indietro e collega i punti in direzioni opposte, partendo da x = 1.
- Se le due linee sono molto distanti, prova a saltare e a collegare i punti più lontani, ad esempio x = 10.
Passaggio 7. Trova la risposta nel punto di intersezione
Dopo che le due linee si intersecano, il valore di x e y in quel punto è la risposta al tuo problema. Se sei fortunato, la risposta sarà un numero intero. Ad esempio, nel nostro esempio le due linee si intersecano nel punto (2, 1) quindi la risposta è x = 2 e y = 1. In alcuni sistemi di equazioni, il punto in cui la linea si interseca è tra due numeri interi e, se il grafico non è molto accurato, è difficile individuare dove si trovano i valori x e y nel punto di intersezione. Se consentito, puoi scrivere "x è compreso tra 1 e 2" come risposta, oppure utilizzare il metodo di sostituzione o eliminazione per trovare la risposta.
Suggerimenti
- Puoi controllare il tuo lavoro inserendo le risposte nell'equazione originale. Se l'equazione risulta essere vera (es. 3 = 3), significa che la tua risposta è corretta.
- Quando si utilizza il metodo di eliminazione, a volte è necessario moltiplicare l'equazione per un numero negativo in modo che le variabili possano annullarsi a vicenda.
