La velocità è definita come la velocità di un oggetto in una certa direzione. In molte situazioni, per trovare la velocità, possiamo usare l'equazione v = s/t, dove v è uguale alla velocità, s è uguale alla distanza totale percorsa dall'oggetto dalla sua posizione iniziale e t è uguale al tempo. Tuttavia, questo metodo fornisce solo il valore di velocità "medio" dell'oggetto rispetto al suo spostamento. Usando il calcolo, puoi calcolare la velocità di un oggetto in qualsiasi punto lungo il suo spostamento. Questo valore è chiamato "velocità istantanea" e può essere calcolato dall'equazione v = (ds)/(dt), o, in altre parole, è la derivata dell'equazione per la velocità media dell'oggetto.
Fare un passo
Metodo 1 di 3: Calcolo della velocità istantanea
Passaggio 1. Inizia con l'equazione per la velocità di spostamento dell'oggetto
Per ottenere il valore della velocità istantanea di un oggetto, dobbiamo prima avere un'equazione che ne descriva la posizione (in termini di spostamento) in un dato momento. Ciò significa che l'equazione deve avere una variabile S (che sta da solo) su un lato, e T d'altra parte (ma non necessariamente autonomo), in questo modo:
s = -1.5t2+10t+4
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Nell'equazione le variabili sono:
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Spostamento = s. Questa è la distanza percorsa dall'oggetto dal suo punto di partenza. Ad esempio, se un oggetto percorre 10 metri in avanti e 7 metri indietro, la distanza totale percorsa è 10 - 7 = 3 metri (non 10 + 7 = 17 metri).
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Tempo = t. Questa variabile è autoesplicativa. Solitamente espresso in secondi. # Prendi la derivata dell'equazione. La derivata di un'equazione è un'altra equazione che può dare il valore della pendenza da un certo punto. Per trovare la derivata della formula per lo spostamento di un oggetto, derivare la funzione utilizzando la seguente regola generale: Se y = a*x , Derivata = a*n*xn-1. Questa regola si applica a qualsiasi componente che si trova sul lato "t" dell'equazione.
Calcola la velocità istantanea Passaggio 2
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- In altre parole, inizia discendendo il lato "t" dell'equazione da sinistra a destra. Ogni volta che raggiungi il valore "t", sottrai 1 dal valore dell'esponente e moltiplica il tutto per l'esponente originale. Eventuali costanti (variabili che non contengono "t") andranno perse perché vengono moltiplicate per 0. Questo processo non è così difficile come si potrebbe pensare, deriviamo l'equazione nel passaggio precedente come esempio:
s = -1.5t2+10t+4
(2)-1.5t(2-1)+ (1)10t1 - 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Passaggio 2. Sostituire la variabile "s" con "ds/dt
"Per mostrare che la tua nuova equazione è la derivata dell'equazione precedente, sostituisci "s" con "ds/dt". Tecnicamente, questa notazione significa "derivata di s rispetto a t". Un modo più semplice per capirlo è che ds /dt è il valore della pendenza (pendenza) in qualsiasi punto della prima equazione, ad esempio, per determinare la pendenza di una linea tracciata dall'equazione s = -1.5t2 + 10t + 4 a t = 5, possiamo inserire il valore "5" nell'equazione derivata.
- Nell'esempio utilizzato, l'equazione della derivata prima sarebbe ora simile a questa:
ds/sec = -3t + 10
Passaggio 3. Inserisci il valore di t nella nuova equazione per ottenere il valore della velocità istantanea
Ora che hai l'equazione della derivata, è facile trovare la velocità istantanea in qualsiasi punto. Tutto quello che devi fare è scegliere un valore per t e inserirlo nella tua equazione derivata. Ad esempio, se vuoi trovare la velocità istantanea a t = 5, puoi sostituire il valore di t con "5" nell'equazione derivata ds/dt = -3 + 10. Quindi risolvi l'equazione in questo modo:
ds/sec = -3t + 10
ds/sec = -3(5) + 10
ds/sec = -15 + 10 = - 5 metri/secondo
Notare che l'unità utilizzata sopra è "metro/secondo". Poiché ciò che calcoliamo è lo spostamento in metri e il tempo in secondi (secondi) e la velocità in generale è lo spostamento in un certo tempo, questa unità è appropriata da usare
Metodo 2 di 3: stima grafica della velocità istantanea
Passaggio 1. Disegna un grafico dello spostamento dell'oggetto nel tempo
Nella sezione precedente, la derivata è menzionata come la formula per trovare la pendenza in un dato punto per l'equazione che stai derivando. Infatti, se rappresenti lo spostamento di un oggetto come una linea su un grafico, "la pendenza della linea in tutti i punti è uguale al valore della sua velocità istantanea in quel punto".
- Per descrivere lo spostamento di un oggetto, usa x per rappresentare il tempo e y per rappresentare lo spostamento. Quindi disegna i punti, inserendo il valore di t nella tua equazione, ottenendo così il valore di s per il tuo grafico, segna t, s nel grafico come (x, y).
- Nota che il tuo grafico può estendersi al di sotto dell'asse x. Se la linea che rappresenta il movimento del tuo oggetto arriva al di sotto dell'asse x, significa che l'oggetto si è spostato all'indietro dalla sua posizione iniziale. In generale, il tuo grafico non raggiungerà la parte posteriore dell'asse y, perché non stiamo misurando la velocità di un oggetto che si muove oltre!
Passaggio 2. Selezionare un punto adiacente P e Q nella linea
Per ottenere la pendenza della retta in un punto P, possiamo usare un trucco chiamato "prendere il limite". Prendere il limite coinvolge due punti (P e Q, un punto vicino) sulla linea curva e trovare l'inclinazione della linea collegandoli molte volte finché le distanze P e Q si avvicinano.
Supponiamo che la linea di spostamento dell'oggetto contenga i valori (1, 3) e (4, 7). In questo caso, se vogliamo trovare la pendenza nel punto (1, 3), possiamo determinare (1, 3) = P e (4, 7) = Q.
Passaggio 3. Trova la pendenza tra P e Q
La pendenza tra P e Q è la differenza dei valori y per P e Q lungo la differenza del valore dell'asse x per P e Q. In altre parole, H = (yQ - siP)/(XQ - XP), dove H è la pendenza tra i due punti. Nel nostro esempio, il valore della pendenza tra P e Q è
H = (yQ- siP)/(XQ- XP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Passaggio 4. Ripetere più volte, avvicinando Q a P
Il tuo obiettivo è ridurre la distanza tra P e Q in modo che assomigli a un punto. Più vicina è la distanza tra P e Q, più vicina è la pendenza della linea nel punto P. Ripeti questa operazione più volte con l'equazione usata come esempio, usando i punti (2, 4.8), (1.5, 3.95) e (1.25, 3.49) come Q e il punto di partenza (1, 3) come P:
Q = (2, 4.8):
H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
Passaggio 5. Stimare la pendenza della linea per una distanza molto piccola
Man mano che Q si avvicina a P, H si avvicina sempre di più al valore della pendenza del punto P. Alla fine, quando raggiunge un valore molto piccolo, H è uguale alla pendenza di P. Poiché non possiamo misurare o calcolare distanze molto piccole, possiamo solo stimare la pendenza su P dopo che è stata chiara dal punto che stiamo provando.
- Nell'esempio, spostando Q più vicino a P, otteniamo valori di 1,8, 1,9 e 1,96 per H. Poiché questi numeri sono vicini a 2, possiamo dire che 2 è la pendenza approssimativa di P.
- Ricorda che la pendenza in un dato punto della retta è uguale alla derivata dell'equazione della retta. Poiché la linea utilizzata mostra lo spostamento di un oggetto nel tempo, e poiché come abbiamo visto nella sezione precedente, la velocità istantanea di un oggetto è la derivata del suo spostamento in un dato punto, possiamo anche affermare che "2 metri/secondo " è il valore approssimativo della velocità istantanea a t = 1.
Metodo 3 di 3: domande di esempio
Passaggio 1. Trova il valore della velocità istantanea a t = 4, dall'equazione di spostamento s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Questo problema è lo stesso dell'esempio nella prima parte, tranne per il fatto che questa equazione è un'equazione del cubo, non un'equazione della potenza, quindi possiamo risolvere questo problema allo stesso modo.
- Per prima cosa, prendiamo la derivata dell'equazione:
- Quindi, inserisci il valore di t(4):
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3)5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metri/secondo
Passaggio 2. Utilizzare una stima grafica per trovare la velocità istantanea in (1, 3) per l'equazione di spostamento s = 4t2 - T.
Per questo problema, useremo (1, 3) come punto P, ma dobbiamo definire un altro punto adiacente a quel punto come punto Q. Quindi dobbiamo solo determinare il valore di H e fare una stima.
- Innanzitutto, trova il valore di Q prima in t = 2, 1,5, 1,1 e 1,01.
- Quindi, determinare il valore di H:
- Poiché il valore di H è molto vicino a 7, possiamo affermare che 7 metri/secondo è la velocità istantanea approssimativa in (1, 3).
s = 4t2- T
t = 2:
s = 4(2)2- (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, quindi Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4(1.5)2 - (1.5)
4(2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, quindi Q = (1,5, 7,5)
t = 1.1:
s = 4(1.1)2 - (1.1)
4(1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, quindi Q = (1.1, 3.74)
t = 1,01:
s = 4(1.01)2 - (1.01)
4(1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, quindi Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Passaggio 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4.5)/(.5) =
Passaggio 9.
Q = (1.1, 3.74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
Suggerimenti
- Per trovare il valore dell'accelerazione (variazione della velocità nel tempo), utilizzare il metodo nella prima sezione per ottenere l'equazione per la derivata della funzione di spostamento. Quindi crea nuovamente l'equazione derivata, questa volta dall'equazione derivata. Questo ti darà l'equazione per trovare l'accelerazione in un dato momento, tutto ciò che devi fare è inserire il tuo valore temporale.
- L'equazione che lega il valore di Y (spostamento) a X (tempo) può essere molto semplice, ad esempio Y= 6x + 3. In questo caso il valore della pendenza è costante e non è necessario trovare la derivata per calcolarlo, dove secondo l'equazione di una retta, Y = mx + b sarà uguale a 6.
- Lo spostamento è simile alla distanza, ma ha una direzione, quindi lo spostamento è una quantità vettoriale, mentre la distanza è una quantità scalare. Il valore dello spostamento può essere negativo, ma la distanza sarà sempre positiva.
