I derivati possono essere utilizzati per derivare caratteristiche utili da un grafico, come valori massimo, minimo, picco, minimo e pendenza. Puoi persino usarlo per rappresentare graficamente equazioni complesse senza una calcolatrice grafica! Sfortunatamente, lavorare sui derivati è spesso noioso, ma questo articolo ti aiuterà con alcuni suggerimenti e trucchi.
Fare un passo
Passaggio 1. Comprendere la notazione derivata
Le seguenti due notazioni sono le più comunemente usate, anche se molte altre possono essere trovate qui su Wikipedia.
- Notazione di Leibniz Questa notazione è la notazione più comunemente usata quando l'equazione coinvolge y e x. dy/dx significa letteralmente la derivata di y rispetto a x. Potrebbe essere utile pensarlo come y/Δx per valori molto diversi di x e y. Questa spiegazione porta alla definizione del limite derivato: limh->0 (f(x+h)-f(x))/h. Quando usi questa notazione per la derivata seconda, dovresti scrivere: d2y/dx2.
- Notazione di Lagrange La derivata della funzione f si scrive anche come f'(x). Questa notazione legge f accentata x. Questa notazione è più corta della notazione di Leibniz ed è utile quando si vedono le derivate come funzioni. Per formare un grado maggiore di derivata, aggiungi semplicemente ' a f, quindi la seconda derivata sarà f''(x).
Passaggio 2. Comprendi il significato della derivata e le ragioni della discesa
Innanzitutto, per trovare la pendenza di un grafico lineare, vengono presi due punti sulla linea e le loro coordinate vengono immesse nell'equazione (y2 - si1)/(X2 - X1). Tuttavia, può essere utilizzato solo per grafici lineari. Per le equazioni quadratiche e superiori, la linea sarà una curva, quindi trovare la differenza tra due punti non è molto accurato. Per trovare la pendenza della tangente in un grafico della curva, vengono presi due punti e inseriti nell'equazione generale per trovare la pendenza del grafico della curva: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx denota delta x, che è la differenza tra due coordinate x in due punti del grafico. Nota che questa equazione è la stessa di (y2 - si1)/(X2 - X1), solo in una forma diversa. Poiché si sapeva che i risultati sarebbero stati imprecisi, è stato applicato un approccio indiretto. Per trovare la pendenza della tangente su (x, f(x)), dx deve essere vicino a 0, in modo che i due punti disegnati si uniscano in un punto. Tuttavia, non puoi dividere 0, quindi una volta immessi i valori a due punti, dovrai utilizzare la fattorizzazione e altri metodi per rimuovere dx dalla parte inferiore dell'equazione. Una volta fatto, fai dx 0 e il gioco è fatto. Questa è la pendenza della tangente su (x, f(x)). La derivata di un'equazione è l'equazione generale per trovare la pendenza di qualsiasi tangente su un grafico. Questo può sembrare molto complicato, ma ci sono alcuni esempi di seguito, che aiuteranno a spiegare come ottenere la derivata.
Metodo 1 di 4: Derivati espliciti
Passaggio 1. Usa una derivata esplicita se la tua equazione ha già y su un lato
Passaggio 2. Inserisci l'equazione nell'equazione [f(x + dx) - f(x)]/dx
Ad esempio, se l'equazione è y = x2, la derivata sarà [(x + dx)2 - X2]/dx.
Passaggio 3. Espandere e rimuovere dx per formare l'equazione [dx(2x + dx)]/dx
Ora puoi lanciare due dx in alto e in basso. Il risultato è 2x + dx, e quando dx si avvicina a zero, la derivata è 2x. Ciò significa che la pendenza di qualsiasi tangente del grafico y = x2 è 2x. Basta inserire il valore x per il punto per il quale si desidera trovare la pendenza.
Passaggio 4. Impara i modelli per derivare equazioni simili
Ecco alcuni esempi.
- Qualsiasi esponente è la potenza moltiplicata per il valore, elevato alla potenza minore di 1. Ad esempio, la derivata di x5 è 5x4, e la derivata di x3, 5 iis3, 5x2, 5. Se c'è già un numero davanti a x, basta moltiplicarlo per la potenza. Ad esempio la derivata di 3x4 è 12x3.
- La derivata di ogni costante è zero. Quindi la derivata di 8 è 0.
- La derivata della somma è la somma delle rispettive derivate. Ad esempio, la derivata di x3 + 3x2 è 3x2 + 6x.
- La derivata del prodotto è il primo fattore per la derivata del secondo fattore più il secondo fattore per la derivata del primo fattore. Ad esempio, la derivata di x3(2x + 1) è x3(2) + (2x + 1)3x2, che è uguale a 8x3 + 3x2.
- La derivata del quoziente (diciamo, f/g) è [g(derivata di f) - f(derivata di g)]/g2. Ad esempio, la derivata di (x2 + 2x - 21)/(x - 3) è (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metodo 2 di 4: Derivati impliciti
Passaggio 1. Utilizza le derivate implicite se la tua equazione non può essere già scritta con y su un lato
Infatti, se scrivessi y su un lato, calcolare dy/dx sarebbe noioso. Ecco un esempio di come è possibile risolvere questo tipo di equazione.
Passaggio 2. In questo esempio, x2y + 2y3 = 3x + 2y, sostituisci y con f(x), così ti ricorderai che y è in realtà una funzione.
L'equazione diventa quindi x2f(x) + 2[f(x)]3 = 3x + 2f(x).
Passaggio 3. Per trovare la derivata di questa equazione, derivare entrambi i lati dell'equazione rispetto a x
L'equazione diventa quindi x2f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]2f'(x) = 3 + 2f'(x).
Passaggio 4. Sostituire nuovamente f(x) con y
Fare attenzione a non sostituire f'(x), che è diverso da f(x).
Passaggio 5. Trova f'(x)
La risposta per questo esempio diventa (3 - 2xy)/(x2 + 6 anni2 - 2).
Metodo 3 di 4: derivati di ordine superiore
Passaggio 1. Derivare una funzione di ordine superiore significa derivare la derivata (all'ordine 2)
Ad esempio, se il problema ti chiede di derivare il terzo ordine, prendi semplicemente la derivata della derivata della derivata. Per alcune equazioni, la derivata di ordine superiore sarà 0.
Metodo 4 di 4: Regola della catena
Passaggio 1. Se y è una funzione differenziale di z e z è una funzione differenziale di x, y è una funzione composta di x e la derivata di y rispetto a x (dy/dx) è (dy/du)* (du/dx)
La regola della catena può anche essere una combinazione di equazioni di potenza, come questa: (2x4 - X)3. Per trovare la derivata, pensala come la regola della moltiplicazione. Moltiplica l'equazione per la potenza e diminuisci di 1 alla potenza. Quindi, moltiplica l'equazione per la derivata dell'equazione tra parentesi che aumenta la potenza (in questo caso, 2x^4 - x). La risposta a questa domanda è 3(2x4 - X)2(8x3 - 1).
Suggerimenti
- Ogni volta che vedi un problema difficile da risolvere, non preoccuparti. Prova a scomporlo in quante più parti possibili applicando le regole della moltiplicazione, del quoziente, ecc. Quindi, abbassa ogni parte.
- Esercitati con la regola della moltiplicazione, la regola del quoziente, la regola della catena e, soprattutto, le derivate implicite, perché queste regole sono molto più difficili nel calcolo.
- Comprendi bene la tua calcolatrice; prova le diverse funzioni della calcolatrice per imparare a usarle. È molto utile sapere come utilizzare le tangenti e le funzioni derivate nella calcolatrice, se disponibili.
- Ricorda le derivate trigonometriche di base e come usarle.
