3 modi per risolvere i logaritmi

2024 Autore: Jason Gerald | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-15 08:17

I logaritmi possono sembrare difficili da risolvere, ma risolvere i problemi dei logaritmi è in realtà molto più semplice di quanto si possa pensare, perché i logaritmi sono solo un altro modo di scrivere equazioni esponenziali. Una volta riscritto il logaritmo in una forma più familiare, dovresti essere in grado di risolverlo come faresti con qualsiasi altra equazione esponenziale ordinaria.

Fare un passo

Prima di iniziare: impara a esprimere le equazioni logaritmiche in modo esponenziale

Passaggio 1. Comprendere la definizione di logaritmo

Prima di risolvere le equazioni logaritmiche, devi capire che i logaritmi sono fondamentalmente un altro modo di scrivere equazioni esponenziali. La definizione esatta è la seguente:

• y = log_B (X)

  Se e solo se: B^sì = x

• Ricorda che b è la base del logaritmo. Questo valore deve soddisfare le seguenti condizioni:

  • b > 0
  • b non è uguale a 1
• Nell'equazione, y è l'esponente e x è il risultato del calcolo dell'esponenziale cercato nel logaritmo.

Passaggio 2. Considera l'equazione logaritmica

Quando guardi l'equazione del problema, cerca la base (b), l'esponente (y) e l'esponenziale (x).

• Esempio:

  5 = log₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Passaggio 3. Sposta l'esponenziale su un lato dell'equazione

Sposta il valore dell'elevamento a potenza, x, a un lato del segno di uguale.

• Per esempio:

  1024 = ?

Passaggio 4. Immettere il valore dell'esponente alla sua base

Il tuo valore base, b, deve essere moltiplicato per lo stesso numero di valori rappresentati dall'esponente y.

• Esempio:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Questa equazione può anche essere scritta come: 4⁵

Passaggio 5. Riscrivi la tua risposta finale

Ora dovresti essere in grado di riscrivere l'equazione logaritmica come equazione esponenziale. Ricontrolla la tua risposta assicurandoti che entrambi i lati dell'equazione abbiano lo stesso valore.

• Esempio:

  4⁵ = 1024

Metodo 1 di 3: trovare il valore di X

Passaggio 1. Dividi l'equazione logaritmica

Eseguire un calcolo inverso per spostare la parte dell'equazione che non è un'equazione logaritmica sull'altro lato.

• Esempio:

  tronco d'albero₃(x + 5) + 6 = 10

  • tronco d'albero₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • tronco d'albero₃(x + 5) = 4

Passaggio 2. Riscrivi questa equazione in forma esponenziale

Usa ciò che già conosci sulla relazione tra equazioni logaritmiche ed equazioni esponenziali e riscrivile in forma esponenziale che è più semplice e facile da risolvere.

• Esempio:

  tronco d'albero₃(x + 5) = 4

  • Confronta questa equazione con la definizione di [ y = log_B (X)], allora puoi concludere che: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Riscrivi l'equazione come: b^sì = x
  • 3⁴ = x + 5

Passaggio 3. Trova il valore di x

Una volta che questo problema è stato semplificato in un'equazione esponenziale di base, dovresti essere in grado di risolverlo come qualsiasi altra equazione esponenziale.

• Esempio:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Passaggio 4. Scrivi la tua risposta finale

La risposta finale che ottieni quando trovi il valore di x è la risposta al tuo problema di logaritmo originale.

• Esempio:

  x = 76

Metodo 2 di 3: trovare il valore di X utilizzando la regola di addizione logaritmica

Passaggio 1. Comprendere le regole per l'aggiunta di logaritmi

La prima proprietà dei logaritmi nota come "regola dell'addizione logaritmica" afferma che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei due valori. Scrivi questa regola in forma di equazione:

• tronco d'albero_B(m * n) = log_B(m) + log_B(n)

• Ricorda che deve essere applicato quanto segue:

  • m > 0
  • n > 0

Passaggio 2. Dividi il logaritmo su un lato dell'equazione

Utilizzare calcoli inversi per spostare parti dell'equazione in modo che l'intera equazione logaritmica si trovi su un lato, mentre gli altri componenti siano sull'altro lato.

• Esempio:

  tronco d'albero₄(x + 6) = 2 - log₄(X)

  • tronco d'albero₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
  • tronco d'albero₄(x + 6) + log₄(x) = 2

Passaggio 3. Applicare la regola di addizione logaritmica

Se ci sono due logaritmi che si sommano in un'equazione, puoi usare la regola dei logaritmi per metterli insieme.

• Esempio:

  tronco d'albero₄(x + 6) + log₄(x) = 2

  • tronco d'albero₄[(x + 6) * x] = 2
  • tronco d'albero₄(X² + 6x) = 2

Passaggio 4. Riscrivi questa equazione in forma esponenziale

Ricorda che i logaritmi sono solo un altro modo di scrivere equazioni esponenziali. Usa la definizione logaritmica per riscrivere l'equazione in una forma che può essere risolta.

• Esempio:

  tronco d'albero₄(X² + 6x) = 2

  • Confronta questa equazione con la definizione di [ y = log_B (X)], puoi concludere che: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Riscrivi questa equazione in modo che: b^sì = x
  • 4² = x² + 6x

Passaggio 5. Trova il valore di x

Una volta che questa equazione si è trasformata in un'equazione esponenziale regolare, usa ciò che sai sulle equazioni esponenziali per trovare il valore di x come faresti normalmente.

• Esempio:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Passaggio 6. Annota le tue risposte

A questo punto, dovresti avere la risposta all'equazione. Scrivi la tua risposta nell'apposito spazio.

• Esempio:

  x = 2

• Nota che non puoi dare una risposta negativa per il logaritmo, quindi puoi eliminare la risposta x - 8.

Metodo 3 di 3: trovare il valore di X utilizzando la regola della divisione logaritmica

Passaggio 1. Comprendere la regola della divisione logaritmica

Sulla base della seconda proprietà dei logaritmi, nota come "regola della divisione logaritmica", il logaritmo di una divisione può essere riscritto sottraendo il logaritmo del denominatore dal numeratore. Scrivi questa equazione come segue:

• tronco d'albero_B(m/n) = log_B(m) - log_B(n)

• Ricorda che deve essere applicato quanto segue:

  • m > 0
  • n > 0

Passaggio 2. Dividere l'equazione logaritmica su un lato

Prima di risolvere le equazioni logaritmiche, devi trasferire tutte le equazioni logaritmiche su un lato del segno di uguale. L'altra metà dell'equazione deve essere spostata dall'altra parte. Usa calcoli inversi per risolverlo.

• Esempio:

  tronco d'albero₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)

  • tronco d'albero₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
  • tronco d'albero₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

Passaggio 3. Applicare la regola della divisione logaritmica

Se ci sono due logaritmi in un'equazione e uno di essi deve essere sottratto dall'altro, puoi e dovresti usare la regola di divisione per unire questi due logaritmi.

• Esempio:

  tronco d'albero₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

  tronco d'albero₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Passaggio 4. Scrivi questa equazione in forma esponenziale

Dopo che è rimasta una sola equazione logaritmica, usa la definizione logaritmica per scriverla in forma esponenziale, eliminando il log.

• Esempio:

  tronco d'albero₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Confronta questa equazione con la definizione di [ y = log_B (X)], puoi concludere che: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Riscrivi l'equazione come: b^sì = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Passaggio 5. Trova il valore di x

Una volta che l'equazione è esponenziale, dovresti essere in grado di trovare il valore di x come faresti normalmente.

• Esempio:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24 / 8
  • x = 3

Passaggio 6. Scrivi la tua risposta finale

Ricerca e ricontrolla i tuoi passaggi di calcolo. Una volta che sei sicuro che la risposta sia corretta, scrivila.

• Esempio:

  x = 3