Un pentagono è un poligono con cinque lati diritti. La maggior parte dei problemi che troverai nelle lezioni di matematica includeranno un pentagono regolare con cinque lati uguali. Ci sono due modi generali per trovare l'ampiezza, a seconda della quantità di informazioni che hai.
Fare un passo
Metodo 1 di 3: trovare l'area della lunghezza del lato e dell'apotema
Passaggio 1. Inizia con le lunghezze laterali e l'apotema
Questo metodo può essere utilizzato per pentagoni regolari con cinque lati uguali. Oltre alle lunghezze laterali, avrai bisogno dell'"apotema" del pentagono. L'apotema è una linea dal centro del pentagono a uno dei lati che interseca il lato con un angolo retto di 90º.
- Non confondere l'apotema e il raggio, che tocca uno dei vertici e non il punto medio. Se conosci solo la lunghezza del lato e il raggio, salta questo metodo e passa al metodo successivo.
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Useremo l'esempio di un pentagono con la lunghezza del lato
Passaggio 3. unità e apotema
Passo 2. unità.
Passaggio 2. Dividi il pentagono in cinque triangoli
Disegna cinque linee dal centro del pentagono, che portano a ciascun vertice. Ora hai cinque triangoli.
Passaggio 3. Trova l'area di uno dei triangoli
Ogni triangolo ha piedistallo che è uguale al lato del pentagono. Ogni triangolo ha anche alto che è uguale all'apotema del pentagono. (Ricorda, l'altezza di un triangolo si estende dal vertice del triangolo al lato opposto, formando un angolo retto.) Per trovare l'area di qualsiasi triangolo, calcola semplicemente x base x altezza.
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Nel nostro esempio, l'area del triangolo = x 3 x 2 =
Passaggio 3. unità al quadrato.
Passaggio 4. Moltiplicare per cinque per trovare l'area totale
Abbiamo diviso il pentagono in cinque triangoli uguali. Per trovare l'area totale, moltiplica semplicemente l'area di uno dei triangoli per cinque.
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Nel nostro esempio, L(pentagono totale) = 5 x L(triangolo) = 5 x 3 =
Passaggio 15. unità al quadrato.
Metodo 2 di 3: trovare l'area dalla lunghezza laterale
Passaggio 1. Inizia con solo le lunghezze laterali
Questo metodo si applica solo ai pentagoni regolari che hanno cinque lati uguali.
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In questo esempio, useremo un pentagono con la lunghezza del lato
Passaggio 7. unità.
Passaggio 2. Dividi il pentagono in cinque triangoli
Traccia una linea dal centro del pentagono a qualsiasi vertice. Ripetere questa operazione per tutti i punti d'angolo. Ora hai cinque triangoli, ciascuno della stessa dimensione.
Passaggio 3. Dividi il triangolo a metà
Traccia una linea dal centro del pentagono alla base di uno dei triangoli. Questa linea dovrebbe toccare la base ad angolo retto di 90, dividendo il triangolo in due triangoli uguali più piccoli.
Passaggio 4. Assegna un nome a uno dei triangoli più piccoli
Possiamo già nominare uno dei lati e uno degli angoli del triangolo più piccolo:
- piedistallo triangolo è della lunghezza del lato del pentagono. Nel nostro esempio, la lunghezza della base è x 7 = 3,5 unità.
- Grande angolo al centro del pentagono è sempre 36º. (Partendo dal centro 360, puoi dividerlo in 10 di questi triangoli più piccoli. 360 10 = 36, quindi l'angolo in uno dei triangoli è 36º.)
Passaggio 5. Calcola l'altezza del triangolo. Alto di questo triangolo è il lato perpendicolare (che forma un angolo retto) al lato del pentagono, rivolto verso il centro. Possiamo usare la trigonometria di base per trovare la lunghezza di questo lato:
- In un triangolo rettangolo, tangente di un angolo è uguale alla lunghezza del lato opposto divisa per la lunghezza del lato adiacente.
- Il lato opposto all'angolo di 36º è la base del triangolo (metà del lato del pentagono). Il lato adiacente all'angolo 36º è l'altezza del triangolo.
- tan(36º) = opposto / adiacente
- Nel nostro esempio, tan(36º) = 3.5 / altezza
- altezza x abbronzatura (36º) = 3, 5
- altezza = 3.5 / abbronzatura (36º)
- altezza = (circa) 4, 8 unità.
Passaggio 6. Trova l'area del triangolo
L'area di un triangolo è base x altezza. (L = a). Ora che conosci l'altezza, inserisci questi valori per trovare l'area del tuo triangolino.
Nel nostro esempio, l'area del triangolo piccolo = at = (3, 5)(4, 8) = 8, 4 unità al quadrato
Passaggio 7. Moltiplica per trovare l'area del pentagono
Uno di questi triangoli più piccoli è 1/10 dell'area del pentagono. Per trovare l'area totale, moltiplica l'area del triangolo più piccolo per 10.
Nel nostro esempio, l'area dell'intero pentagono = 8, 4 x 10 = 84 unità al quadrato.
Metodo 3 di 3: utilizzo di formule
Passaggio 1. Usa il perimetro e l'apotema
L'apotema è una linea dal centro di un pentagono che tocca un lato ad angolo retto. Se ti viene data la lunghezza dell'apotema, puoi usare questa semplice formula.
- Area di un pentagono regolare = ka/2, dove k = perimetro e a = apotema.
- Se non conosci il perimetro, calcola il perimetro dalla lunghezza del lato: k = 5s, dove s è la lunghezza del lato.
Passaggio 2. Utilizzare le lunghezze laterali
Se conosci solo le lunghezze dei lati, usa la seguente formula:
- Area del pentagono regolare = (5 s 2) / (4tan(36º)), dove s = lunghezza del lato.
- tan(36º) = (5-2√5). Quindi, se la tua calcolatrice non ha una funzione tan, usa la formula Area = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Passaggio 3. Scegli una formula che utilizzi solo il raggio
Puoi persino trovare l'area se conosci solo il raggio. Usa questa formula:
Area del pentagono regolare = (5/2) r 2sin(72º), dove r è il raggio.
Suggerimenti
- Gli esempi qui forniti utilizzano valori arrotondati per facilità di calcolo. Se misuri il poligono effettivo con le lunghezze laterali indicate, otterrai risultati leggermente diversi per le altre lunghezze e aree.
- Se possibile, usa il metodo geometrico e il metodo delle formule e confronta i risultati per assicurarti di avere la risposta corretta. Potresti ottenere una risposta leggermente diversa se inserisci la formula tutta in una volta (poiché non arrotonderai quando esegui il calcolo), ma la risposta dovrebbe essere più o meno la stessa.
- Un pentagono irregolare, o un pentagono con lati disuguali, è più difficile da imparare. L'approccio migliore è di solito dividere il pentagono in triangoli e sommare l'area di ciascun triangolo. Potrebbe anche essere necessario disegnare la forma più grande attorno al pentagono, calcolare la sua area e sottrarre l'area dell'esterno del pentagono.
- Le formule sono derivate da mezzi geometrici, quasi uguali a quelli qui descritti. Nota se riesci a capire come ottenere le formule. La formula del raggio è più difficile da derivare rispetto alle altre formule (suggerimento: avrai bisogno di un'identità a doppio o doppio angolo).
