La distanza, spesso data dalla variabile "s", è una misura dello spazio che è una linea retta tra due punti. La distanza può riferirsi allo spazio tra due punti immobili (ad esempio, l'altezza di una persona è la distanza dalla parte inferiore dei piedi alla parte superiore della testa) oppure può riferirsi allo spazio tra la posizione corrente di un oggetto in movimento e la posizione iniziale in cui l'oggetto ha iniziato a muoversi. La maggior parte dei problemi di distanza può essere risolta con l'equazione s = v × t, dove s è la distanza, v è la velocità media e t è il tempo, o usando s = ((x2 - X1)2 + (y2 - si1)2), dove (x1, sì1) e (x2, sì2) sono le coordinate x e y dei due punti.
Fare un passo
Metodo 1 di 2: calcolo della distanza con velocità e tempo medi
Passaggio 1. Trova la velocità media e i valori di tempo
Quando si tenta di calcolare la distanza percorsa da un oggetto in movimento, ci sono due informazioni importanti per questo calcolo: velocità (o velocità) e tempo che l'oggetto in movimento ha viaggiato. Con queste informazioni è possibile calcolare la distanza percorsa dall'oggetto utilizzando la formula s = v × t.
Per comprendere meglio il processo di utilizzo della formula della distanza, risolviamo un problema di esempio in questa sezione. Diciamo che stiamo percorrendo una strada a 120 miglia orarie (circa 193 km orari) e vogliamo sapere quanto lontano avremo percorso in mezz'ora. Utilizzo 120 miglia all'ora come il valore della velocità media e 0,5 ore come valore del tempo, risolveremo questo problema nel passaggio successivo.
Passaggio 2. Moltiplicare la velocità media per il tempo
Dopo aver conosciuto la velocità media di un oggetto in movimento e il tempo che ha percorso, calcolare la distanza percorsa è relativamente facile. Basta moltiplicare i due valori per trovare la risposta.
- Tuttavia, tieni presente che se l'unità di tempo utilizzata nel valore della velocità media è diversa da quella utilizzata nel valore del tempo, dovrai cambiarne una in modo che corrisponda. Ad esempio, se avessimo un valore di velocità media misurato in km all'ora e un valore di tempo misurato in minuti, dovresti dividere il valore del tempo per 60 per convertirlo in ore.
- Finiamo il nostro problema di esempio. 120 miglia/ora × 0,5 ore = 60 miglia. Notare che le unità nel valore temporale (ore) omettono il denominatore della velocità media (ore) lasciando solo le unità di distanza (miglia).
Passaggio 3. Modificare l'equazione per calcolare un'altra variabile
La semplicità dell'equazione della distanza di base (s = v × t) rende facile usare l'equazione per trovare il valore di una variabile diversa dalla distanza. Basta isolare la variabile che si desidera trovare secondo le regole di base dell'algebra, quindi inserire i valori delle altre due variabili per trovare il valore della terza variabile. In altre parole, per calcolare la velocità media dell'oggetto, usa l'equazione v = s/t e per calcolare il tempo trascorso dall'oggetto, usa l'equazione t = s/v.
- Ad esempio, supponiamo di sapere che un'auto ha percorso 60 miglia in 50 minuti, ma non abbiamo un valore per la velocità media mentre l'oggetto si muove. In questo caso, possiamo isolare la variabile v nell'equazione di base della distanza per ottenere v = d/t, quindi dividere semplicemente 60 miglia / 50 minuti per ottenere la risposta 1,2 miglia/minuto.
- Nota che nell'esempio, la risposta per la velocità ha un'unità insolita (miglia/minuto). Per ottenere una risposta nelle miglia/ora più comuni, moltiplicare per 60 minuti/ora per ottenere il risultato 72 miglia/ora.
Passaggio 4. Notare che la variabile "v" nella formula della distanza si riferisce alla velocità media
È importante capire che la formula della distanza di base offre una vista semplificata del movimento di un oggetto. La formula della distanza presuppone che un oggetto in movimento abbia una velocità costante - in altre parole, presuppone che un oggetto in movimento abbia un'unica velocità immutabile. Per problemi di matematica astratta, come quelli che potresti incontrare in un ambiente accademico, a volte è ancora possibile modellare il movimento di un oggetto usando questo presupposto. Tuttavia, nella vita reale, questi esempi spesso non riflettono accuratamente il movimento di oggetti in movimento, che di fatto possono accelerare, rallentare, arrestarsi e invertire nel tempo.
- Ad esempio, nel problema di esempio sopra, abbiamo concluso che per coprire 60 miglia in 50 minuti, dovremmo viaggiare a 72 miglia all'ora. Tuttavia, questo è vero solo se si viaggia ad una velocità durante l'intero viaggio. Ad esempio, viaggiando a 80 miglia/ora per metà del viaggio ea 64 miglia/ora per la restante metà, copriremo comunque 60 miglia in 50 minuti - 72 miglia/ora = 60 miglia/50 minuti = ?????
- Le soluzioni basate sul calcolo che utilizzano le derivate sono spesso una scelta migliore rispetto alle formule di distanza per definire la velocità di un oggetto in situazioni reali perché sono possibili cambiamenti nella velocità.
Metodo 2 di 2: calcolo della distanza tra due punti
Passaggio 1. Trova le due coordinate spaziali dei due punti
E se, invece di calcolare la distanza percorsa da un oggetto in movimento, dovessi calcolare la distanza tra due oggetti immobili? In tal caso, la formula della distanza basata sulla velocità descritta sopra non funzionerà. Fortunatamente, è possibile utilizzare formule di distanza diverse per calcolare facilmente la distanza in linea retta tra due punti. Tuttavia, per utilizzare questa formula, sarà necessario conoscere le coordinate dei due punti. Se si gestiscono distanze unidimensionali (come su una linea dei numeri), le coordinate saranno costituite da due numeri, x1 e x2. Se gestisci distanze in due dimensioni, avrai bisogno di due valori (x, y), (x1, sì1) e (x2, sì2). Infine, per tre dimensioni, avrai bisogno del valore (x1, sì1, z1) e (x2, sì2, z2).
Passaggio 2. Calcola la distanza unidimensionale sottraendo i valori delle coordinate di due punti
Calcolare la distanza unidimensionale tra due punti quando si conosce già il valore di ciascun punto è facile. Basta usare la formula s = |x2 - X1|. In questa formula, sottrai x1 da x2, quindi prendi il valore assoluto della tua risposta per trovare la distanza tra x1 e x2. Di solito, ti consigliamo di utilizzare la formula della distanza unidimensionale quando i due punti si trovano su una linea o sull'asse dei numeri.
- Nota che questa formula utilizza valori assoluti (simbolo " | |"). Valore assoluto significa solo che il valore all'interno del simbolo diventa positivo se è negativo.
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Ad esempio, supponiamo di fermarci a lato della strada su un'autostrada perfettamente dritta. Se c'è una città 5 miglia davanti a noi e un'altra città 1 miglio dietro di noi, quanto distano le due città? Se impostiamo la città 1 come x1 = 5 e città 2 come x1 = -1, possiamo calcolare s, la distanza tra le due città, nel seguente modo:
- s = |x2 - X1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 miglia.
Passaggio 3. Calcola la distanza bidimensionale usando il teorema di Pitagora
Calcolare la distanza tra due punti nello spazio bidimensionale è più complicato che in unidimensionale, ma non difficile. Basta usare la formula s = ((x2 - X1)2 + (y2 - si1)2). In questa formula, sottrai le due coordinate x, calcola la radice quadrata, sottrai le due coordinate y, calcola la radice quadrata, quindi somma i due risultati e calcola la radice quadrata per trovare la distanza tra i due punti. Questa formula si applica a un piano bidimensionale, ad esempio su un normale grafico x/y.
- La formula della distanza bidimensionale fa uso del teorema di Pitagora, il quale afferma che la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo di destra è uguale alla radice quadrata del quadrato sugli altri due lati.
- Ad esempio, supponiamo di avere due punti nel piano x-y: (3, -10) e (11, 7), che rappresentano rispettivamente il centro di un cerchio e un punto sul cerchio. Per trovare la distanza in linea retta tra due punti, possiamo calcolarla nel modo seguente:
- s = ((x2 - X1)2 + (y2 - si1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Passaggio 4. Calcolare la distanza tridimensionale modificando la formula della distanza bidimensionale
In tre dimensioni, i punti hanno coordinate z oltre alle coordinate x e y. Per calcolare la distanza tra due punti nello spazio tridimensionale, utilizzare s = ((x2 - X1)2 + (y2 - si1)2 + (z2 - z1)2). Questa è una forma modificata della formula della distanza bidimensionale sopra descritta che include la coordinata z. Sottraendo le due coordinate z, calcolando la radice quadrata e continuando con il resto della formula, la tua risposta finale rappresenterà la distanza tridimensionale tra i due punti.
- Ad esempio, supponiamo di essere astronauti che fluttuano nello spazio tra due asteroidi. Un asteroide è circa 8 km avanti, 2 km a destra e 5 km sotto di noi, mentre l'altro è circa 3 km dietro, 3 km a sinistra e 4 km sopra di noi. Se rappresentiamo le posizioni dei due asteroidi con le coordinate (8, 2, -5) e (-3, -3, 4), possiamo calcolare la distanza tra loro nel modo seguente:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
