Un vettore è una grandezza fisica che ha sia grandezza che direzione (ad esempio velocità, accelerazione e spostamento), al contrario di uno scalare che consiste solo di grandezza (ad esempio velocità, distanza o energia). Se gli scalari possono essere aggiunti aggiungendo grandezze (ad es. 5 kJ di lavoro più 6 kJ di lavoro equivalgono a 11 kJ di lavoro), i vettori sono un po' difficili da aggiungere o sottrarre. Vedere il passaggio 1 di seguito per apprendere alcuni modi per aggiungere o sottrarre vettori.
Fare un passo
Metodo 1 di 3: aggiunta e sottrazione di vettori i cui componenti sono noti
Passaggio 1. Annotare le componenti dimensionali del vettore in notazione vettoriale
Poiché i vettori hanno grandezza e direzione, di solito possono essere scomposti in parti in base alle dimensioni x, y e/o z. Queste dimensioni sono solitamente scritte in una notazione simile per descrivere un punto in un sistema di coordinate (ad es. e altri). Se conosci questa parte, aggiungere o sottrarre vettori è molto semplice, basta aggiungere o sottrarre le loro coordinate x, yez.
- Nota se le dimensioni del vettore sono 1, 2 o 3. Pertanto, il vettore può avere componenti x, xey, o x, yez. Il nostro esempio seguente utilizza un vettore tridimensionale, ma il processo è come un vettore a 1 o 2 dimensioni.
- Supponiamo di avere due vettori tridimensionali, il vettore A e il vettore B. Possiamo scrivere questi vettori usando la notazione vettoriale come A = e B =, dove a1 e a2 sono componenti x, b1 e b2 sono componenti y e c1 e c2 sono componenti z.
Passaggio 2. Per aggiungere i due vettori, sommare i loro componenti
Se le due componenti di un vettore sono note, puoi aggiungere i vettori aggiungendo le componenti di ciascuno. In altre parole, aggiungi il componente x del primo vettore al componente x del secondo vettore e fai lo stesso per y e z. La risposta che ottieni sommando i componenti x, yez di quei vettori è i componenti x, yez del tuo nuovo vettore.
- In termini generali, A+B =.
- Aggiungiamo due vettori A e B. A = e B =. A + B =, o.
Passaggio 3. Per sottrarre entrambi i vettori, sottrarre i loro componenti
Come discuteremo in seguito, la sottrazione di un vettore da un altro può essere pensata come l'aggiunta dei suoi vettori reciproci. Se si conoscono le componenti di entrambi i vettori, è possibile sottrarre un vettore da un altro sottraendo la prima componente dalla seconda (o sommando le componenti negative di entrambe).
- In termini generali, A-B =
- Sottraiamo due vettori A e B. A = e B =. A - B =, o.
Metodo 2 di 3: aggiunta e sottrazione con immagini utilizzando il metodo testa e coda
Passaggio 1. Simboleggia il vettore disegnandolo usando la testa e la coda
Poiché i vettori hanno sia grandezza che direzione, possiamo dire che hanno una coda e una testa. In altre parole, un vettore ha un punto iniziale e un punto finale che indica la direzione del vettore la cui distanza dal punto iniziale è uguale alla grandezza del vettore. Quando viene disegnato, il vettore assume la forma di una freccia. La punta della freccia è la testa del vettore e la fine della linea del vettore è la coda.
Se stai creando un disegno vettoriale con dimensioni, dovrai misurare e disegnare accuratamente tutti gli angoli. L'angolo sbagliato dell'immagine influenzerà il risultato risultante quando due vettori vengono aggiunti o sottratti utilizzando questo metodo
Passaggio 2. Per aggiungere, disegnare o spostare il secondo vettore in modo che la coda incontri la testa del primo vettore
Questo è chiamato combinare i vettori testa-coda. Se stai solo sommando due vettori, ecco cosa devi fare prima di trovare il vettore risultante.
Nota che l'ordine in cui aggiungi i vettori non ha importanza, supponendo che tu usi lo stesso punto di partenza. Vettore A + Vettore B = Vettore B + Veltor A
Passaggio 3. Per sottrarre, aggiungi un segno negativo al vettore
Ridurre i vettori usando le immagini è molto semplice. Invertire la direzione del vettore, ma mantenere la stessa grandezza e sommare la testa e la coda del vettore come al solito. In altre parole, per sottrarre un vettore, ruota il vettore di 180o e sommare.
Passaggio 4. Se aggiungi o sottrai più di due vettori, combina tutti i vettori in un ordine dalla testa alla coda
L'ordine di fusione non ha importanza. Questo metodo può essere utilizzato indipendentemente dal numero di vettori.
Passaggio 5. Disegna un nuovo vettore dalla coda del primo vettore alla testa dell'ultimo vettore
Sia che tu stia aggiungendo/sottraendo due vettori o cento, il vettore che si estende dal punto di partenza iniziale (la coda del primo vettore) al punto finale del tuo ultimo vettore (la testa del tuo ultimo vettore) è il vettore risultante o la somma di tutti i tuoi vettori. Nota che questo vettore è esattamente lo stesso del vettore ottenuto sommando tutte le componenti x, y e/o z.
- Se disegni tutti i tuoi vettori a misura, misurando correttamente tutti gli angoli, puoi determinare la grandezza del vettore risultante misurando la lunghezza. Puoi anche misurare l'angolo tra la risultante e qualsiasi vettore orizzontalmente o verticalmente per determinarne la direzione.
- Se non disegni tutti i tuoi vettori a misura, potresti dover calcolare la grandezza del risultante usando la trigonometria. Forse le regole seno e coseno saranno d'aiuto. Se aggiungi più di due vettori, è utile aggiungere il primo vettore per il secondo, quindi aggiungere la risultante del secondo al terzo e così via. Vedere le sezioni seguenti per ulteriori informazioni.
Passaggio 6. Disegna il vettore risultante usando la sua grandezza e direzione
Un vettore è definito dalla sua lunghezza e direzione. Come sopra, supponendo che tu abbia disegnato il tuo vettore in modo accurato, la grandezza del tuo nuovo vettore è la sua lunghezza e la sua direzione è l'angolo relativo alla direzione verticale o orizzontale. Usa i vettori di unità che aggiungi o sottrai per determinare le unità per la grandezza del tuo vettore risultante.
Ad esempio, se i vettori aggiunti rappresentano la velocità in ms-1, allora il vettore risultante può essere definito come "velocità x ms-1 contro di te o in direzione orizzontale.
Metodo 3 di 3: aggiunta e sottrazione di vettori specificando componenti dimensionali vettoriali
Passaggio 1. Utilizzare la trigonometria per determinare i componenti di un vettore
Per trovare i componenti di un vettore, di solito è necessario conoscerne la grandezza e la direzione rispetto alla direzione orizzontale o verticale e comprendere la trigonometria. Supponendo un vettore bidimensionale, in primo luogo, pensa al tuo vettore come all'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui due lati sono paralleli alle direzioni x e y. Questi due lati possono essere pensati come componenti di un vettore testa-coda che si sommano per formare il tuo vettore.
- Le lunghezze di entrambi i lati sono uguali alle componenti xey del tuo vettore e possono essere calcolate usando la trigonometria. Se x è una grandezza vettoriale, il lato adiacente all'angolo del vettore (relativo alle direzioni orizzontale, verticale e altre) è xcos(θ), mentre il lato opposto è xsin(θ).
- È anche molto importante notare la direzione dei componenti. Se il componente punta a una coordinata negativa, gli viene assegnato un segno negativo. Ad esempio, in un piano bidimensionale, se un componente punta a sinistra o in basso, è negativo.
- Ad esempio, supponiamo di avere un vettore con magnitudine 3 e direzione 135o rispetto all'orizzontale. Con queste informazioni, possiamo determinare che il componente x è 3cos(135) = - 2, 12 e il componente y è 3sin(135) = 2, 12
Passaggio 2. Aggiungere o sottrarre due o più vettori correlati
Una volta trovate le componenti di tutti i tuoi vettori, sommale per trovare le componenti del tuo vettore risultante. Innanzitutto, somma tutte le grandezze delle componenti orizzontali (che sono parallele alla direzione x). Separatamente, somma tutte le grandezze delle componenti verticali (che sono parallele alla direzione y). Se un componente è negativo (-), la sua grandezza viene sottratta, non aggiunta. La risposta che ottieni è la componente del tuo vettore risultante.
Ad esempio, il vettore del passaggio precedente,, viene aggiunto al vettore. In questo caso, il vettore risultante diventa o
Passaggio 3. Calcola il modulo del vettore risultante usando il teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora c2=a2+b2, viene utilizzato per trovare la lunghezza del lato di un triangolo rettangolo. Poiché il triangolo formato dal nostro vettore risultante e dai suoi componenti è un triangolo rettangolo, possiamo usarlo per trovare la lunghezza e la grandezza del vettore. Con c come grandezza del vettore risultante, che stai cercando, supponiamo che a sia la grandezza della componente x e b sia la grandezza della componente y. Risolvi usando l'algebra.
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Per trovare la grandezza del vettore le cui componenti abbiamo cercato nel passaggio precedente,, usa il teorema di Pitagora. Risolvi come segue:
- C2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- C2=13, 40+47, 33
- c=√60, 73 = 7, 79
Passaggio 4. Calcolare la direzione risultante utilizzando la funzione Tangente
Infine, trova il vettore risultante della direzione. Usa la formula =tan-1(b/a), dove è la dimensione dell'angolo formato nella direzione x o orizzontale, b è la dimensione del componente y e a è la dimensione del componente x.
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Per trovare la direzione del nostro vettore, usa =tan-1(b/a).
- =tan-1(-6, 88/3, 66)
- =tan-1(-1, 88)
- =-61, 99o
Passaggio 5. Disegna il vettore risultante in base alla sua grandezza e direzione
Come scritto sopra, i vettori sono definiti dalla loro grandezza e direzione. Assicurati di utilizzare le unità appropriate per le dimensioni del tuo vettore.
Ad esempio, se il nostro esempio vettoriale rappresenta una forza (in Newton), allora possiamo scriverla "forza 7,79 N per -61,99 o in orizzontale".
Suggerimenti
- Il vettore è diverso dal grande.
- I vettori con la stessa direzione possono essere aggiunti o sottratti aggiungendo o sottraendo le loro grandezze. Se tu riassumere due vettori opposti, le loro grandezze vengono sottratte, non aggiunte.
- I vettori rappresentati nella forma x i + y j + z k possono essere sommati o sottratti aggiungendo o sottraendo i coefficienti dei tre vettori unitari. La risposta è anche nella forma di i, j e k.
- Puoi trovare la dimensione di un vettore tridimensionale usando la formula a2=b2+c2+d2 dove a è il modulo del vettore e b, c e d sono le componenti di ciascuna direzione.
- I vettori colonna possono essere aggiunti e sottratti aggiungendo o sottraendo i valori di ciascuna riga.
