Il teorema di Pitagora descrive le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo in modo elegante e pratico, quindi questo teorema è ancora oggi ampiamente utilizzato. Questo teorema afferma che per ogni triangolo rettangolo, la somma dei quadrati dei lati non angolati è uguale al quadrato dell'ipotenusa. In altre parole, per un triangolo rettangolo con i lati perpendicolari a e b e l'ipotenusa c, un2 + b2 = c2.
Il teorema di Pitagora è uno dei pilastri fondamentali della geometria elementare. Ci sono innumerevoli applicazioni che usano questo teorema, ad esempio, per rendere facile trovare la distanza tra due punti su un piano di coordinate.
Fare un passo
Metodo 1 di 2: trovare i lati di un triangolo rettangolo
Passaggio 1. Assicurati che il tuo triangolo sia un triangolo rettangolo
Il teorema di Pitagora si applica solo ai triangoli rettangoli, quindi, prima di procedere, è molto importante assicurarsi che i triangoli siano conformi alle proprietà dei triangoli rettangoli. Fortunatamente, c'è un fattore che può indicare che il tuo triangolo è un triangolo rettangolo. Il tuo triangolo dovrebbe avere un angolo di 90 gradi.
Come segno, i triangoli rettangoli sono spesso contrassegnati da piccoli quadrati per contrassegnare angoli di 90 gradi, non utilizzando "curve" curve. Cerca questo segno particolare nell'angolo del tuo triangolo
Passaggio 2. Assegna le variabili a, b e c per i lati del triangolo
Nel Teorema di Pitagora, le variabili a e b rappresentano i lati che si incontrano nel triangolo rettangolo, mentre la variabile c rappresenta l'ipotenusa, il lato lungo opposto all'angolo retto. Quindi, per cominciare, segna i lati corti del tuo triangolo con le variabili a e b (non importa se le scambi) e segna l'ipotenusa con la variabile c.
Passaggio 3. Decidi quale lato del triangolo vuoi risolvere
Il teorema di Pitagora consente ai matematici di trovare la lunghezza di qualsiasi lato di un triangolo rettangolo purché conoscano le lunghezze degli altri due lati. Determina quale lato è sconosciuto: a, b e/o c. Se la lunghezza di uno dei tuoi lati è sconosciuta, sei pronto per andare avanti.
- Ad esempio, sappiamo che la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo è 5 e la lunghezza di uno degli altri lati è 3, ma non siamo sicuri della lunghezza del terzo lato. In questo caso, sappiamo che stiamo cercando la lunghezza del terzo lato, e poiché conosciamo le lunghezze degli altri due, possiamo risolverlo! Lavoreremo su questo problema con i seguenti passaggi.
- Se non conosci le lunghezze di due lati, devi conoscerne uno per poter usare il teorema di Pitagora. Le funzioni trigonometriche di base possono aiutarti se conosci un lato di un triangolo che non è inclinato.
Passaggio 4. Inserisci i valori a due facce che già conosci nell'equazione
Sostituisci le lunghezze dei lati del tuo triangolo nell'equazione a2 + b2 = c2. Ricorda che a e b sono lati non inclinati, mentre c è l'ipotenusa.
Nel nostro esempio, conosciamo la lunghezza di uno dei lati e l'ipotenusa (3 e 5), quindi l'equazione diventa 3² + b² = 5²
Passaggio 5. Quadrato
Per risolvere la tua equazione, inizia quadrando i lati noti. In alternativa, se lo trovi più facile, puoi lasciare le lunghezze dei lati al quadrato e riquadrarle in seguito.
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Nel nostro esempio, piazzeremo 3 e 5 in modo da ottenere
Passaggio 9. da
Passaggio 25.. Possiamo scrivere l'equazione come 9 + b² = 25.
Passaggio 6. Spostare la variabile sconosciuta dall'altra parte dell'equazione
Se necessario, usa le operazioni algebriche di base per spostare la variabile sconosciuta dall'altra parte dell'equazione e il quadrato delle altre due variabili dall'altra parte. Se vuoi trovare la lunghezza dell'ipotenusa, c è già dall'altra parte dell'equazione, quindi non devi fare nulla per spostarla.
Nel nostro esempio, l'equazione corrente è 9 + b² = 25. Per spostare b², sottrai entrambi i lati dell'equazione per 9, quindi il risultato è b² = 16
Passaggio 7. Radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione
Ora solo una variabile è quadrata da un lato e numero dall'altro. Radice quadrata di entrambi i lati per trovare la lunghezza del lato sconosciuto.
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Nel nostro esempio, b² = 16, prendendo la radice quadrata di entrambi i lati si ottiene b = 4. Quindi, possiamo dire che la lunghezza del lato sconosciuto del triangolo è
Passaggio 4..
Passaggio 8. Usa il teorema di Pitagora per trovare i lati di un vero triangolo rettangolo
Il motivo per cui il teorema di Pitagora è ampiamente utilizzato oggi è che può essere applicato a innumerevoli situazioni pratiche. Impara a conoscere i triangoli rettangoli nella vita reale - in ogni situazione in cui due oggetti o linee rette incontrano un angolo retto e il terzo oggetto o linea unisce i due oggetti o linee diagonalmente, puoi usare il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza del lato l'altro, se si conoscono le lunghezze degli altri due lati.
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Proviamo un esempio reale che è un po' più difficile. Una scala si appoggia a un edificio. La distanza dal fondo delle scale al muro è di 5 metri. L'altezza delle scale raggiunge i 20 metri. Quanto è lunga la scala?
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5 metri dal muro e 20 metri di altezza ci dice le lunghezze dei lati del triangolo. Poiché il muro e il terreno (assunto) formano un angolo retto e la scala è appoggiata diagonalmente contro il muro, questa disposizione può essere considerata un triangolo rettangolo con lati a = 5 e b = 20. La lunghezza della scala è l'ipotenusa, quindi il valore di c non è noto. Usiamo il teorema di Pitagora:
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- radice(425) = c
- c = 20,6. La lunghezza approssimativa della scala è 20,6 metri.
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Metodo 2 di 2: Calcolo della distanza tra due punti nel piano X-Y
Passaggio 1. Trova due punti nel piano X-Y
Il teorema di Pitagora può essere usato facilmente per calcolare la distanza in linea retta tra due punti nel piano X-Y. Tutto quello che devi sapere sono le coordinate xey dei due punti. Di solito, queste coordinate sono scritte insieme nella forma (x, y).
Per trovare la distanza tra questi due punti, considereremo ogni punto come uno degli angoli non retti di un triangolo rettangolo. In questo modo sarà facile trovare le lunghezze dei lati aeb e quindi calcolare l'ipotenusa c, che è la distanza tra i due punti
Passaggio 2. Disegna i tuoi due punti nell'immagine
In un piano X-Y regolare, ogni punto (x, y), x rappresenta una coordinata orizzontale e y rappresenta una coordinata verticale. Puoi trovare la distanza tra i due punti senza disegnarla, ma così facendo avrai un'immagine visiva che potrai usare per vedere se la tua risposta è corretta.
Passaggio 3. Trova la lunghezza del lato non inclinato del tuo triangolo
Usando i due punti come angoli del triangolo adiacente all'ipotenusa, trova le lunghezze dei lati aeb del triangolo. Puoi farlo usando un'immagine o usando la formula |x1 - X2| per il lato orizzontale e |y1 - si2| per il lato verticale, con (x1, sì1) come primo punto e (x2, sì2) come secondo punto.
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Siano i nostri due punti (6, 1) e (3, 5). La lunghezza del lato orizzontale del nostro triangolo è:
- |x1 - X2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Passaggio 3.
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La lunghezza del lato verticale è:
- |y1 - si2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Passaggio 4.
- Quindi, nel nostro triangolo rettangolo, lato a = 3 e lato b = 4.
Passaggio 4. Utilizzare il teorema di Pitagora per trovare la lunghezza dell'ipotenusa
La distanza tra due punti è la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo di cui hai appena trovato i due lati. Usa il teorema di Pitagora per trovare l'ipotenusa, dove a è la lunghezza del primo lato e b è la lunghezza del secondo lato.
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Nel nostro esempio, stiamo usando i punti (3, 5) e (6, 1) i cui lati sono 3 e 4, quindi possiamo trovare l'ipotenusa come segue:
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- (3)²+(4)²= c²
- c= radice (9+16)
- c= radice(25)
-
c= 5. La distanza tra (3, 5) e (6, 1) è
Passaggio 5..
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Suggerimenti
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L'ipotenusa è sempre:
- opposto all'angolo retto (senza toccare l'angolo retto)
- lato più lungo in un triangolo rettangolo
- chiamato c nel teorema di Pitagora
- radice (x) indica la radice quadrata di x.
- Ricordati di controllare sempre le tue risposte. Se la tua risposta sembra sbagliata, riprova e riprova.
- Se il triangolo non è rettangolo, sono necessarie ulteriori informazioni, non solo le lunghezze degli altri due lati.
- Un altro modo per verificare: il lato più lungo è opposto all'angolo più grande e il lato più corto è opposto all'angolo più piccolo.
- Le cifre sono la chiave per scrivere i valori corretti per a, b e c. Se stai lavorando su un problema relativo a una storia, assicurati di annotare prima il problema sotto forma di immagine.
- Se conosci solo la lunghezza di un lato, il teorema di Pitagora non funziona. Prova a usare la trigonometria (sin, cos, tan) o rapporti 30-60-90 / 45-45-90.
