Una frazione complessa è una frazione in cui il numeratore, il denominatore o entrambi contengono anche una frazione. Per questo motivo le frazioni complesse sono talvolta chiamate "frazioni impilate". Semplificare le frazioni complesse può essere facile o difficile, a seconda di quanti numeri ci sono nel numeratore e nel denominatore, se uno dei numeri è una variabile o la complessità del numero variabile. Vedi il passaggio 1 di seguito per iniziare!
Fare un passo
Metodo 1 di 2: Semplificare le frazioni complesse con la moltiplicazione inversa
Passaggio 1. Se necessario, semplifica il numeratore e il denominatore in una singola frazione
Le frazioni complesse non sono sempre difficili da risolvere. In effetti, le frazioni complesse il cui numeratore e denominatore contengono un'unica frazione sono solitamente abbastanza facili da risolvere. Quindi, se il numeratore o il denominatore (o entrambi) di una frazione complessa contiene più frazioni o frazioni e un intero, semplificalo per ottenere una singola frazione sia al numeratore che al denominatore. Trova il minimo comune multiplo (LCM) di due o più frazioni.
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Ad esempio, supponiamo di voler semplificare una frazione complessa (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Innanzitutto, semplificheremo sia il numeratore che il denominatore di una frazione complessa in un'unica frazione.
- Per semplificare il numeratore, usa il LCM 15 ottenuto moltiplicando 3/5 per e 3/3. Il numeratore sarà 9/15 + 2/15, che equivale a 11/15.
- Per semplificare il denominatore, utilizzeremo il risultato LCM di 70 che si ottiene moltiplicando 5/7 per 10/10 e 3/10 per 7/7. Il denominatore sarà 50/70 - 21/70, che equivale a 29/70.
- Quindi, la nuova frazione complessa è (11/15)/(29/70).
Passaggio 2. Invertire il denominatore per trovare il suo reciproco
Per definizione, dividere un numero per un altro equivale a moltiplicare il primo numero per il reciproco del secondo numero. Ora che abbiamo una frazione complessa con un'unica frazione sia al numeratore che al denominatore, useremo questa divisione per semplificare la frazione complessa. Innanzitutto, trova il reciproco della frazione in fondo alla frazione complessa. Fallo "invertendo" la frazione - mettendo il numeratore al posto del denominatore e viceversa.
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Nel nostro esempio, la frazione al denominatore della frazione complessa (11/15)/(29/70) è 29/70. Per trovare l'inverso, lo "invertiamo" in modo da ottenere 70/29.
Nota che se una frazione complessa ha un intero al denominatore, possiamo trattarla come una frazione e trovarne il reciproco. Ad esempio, se la frazione complessa è (11/15)/(29), possiamo creare il denominatore 29/1, il che significa che il reciproco è 1/29.
Passaggio 3. Moltiplicare il numeratore della frazione complessa per il reciproco del denominatore
Ora che abbiamo il reciproco del denominatore della frazione complessa, moltiplicalo per il numeratore per ottenere una singola frazione semplice. Ricorda che per moltiplicare due frazioni, facciamo solo la moltiplicazione incrociata: il numeratore della nuova frazione è il numero del numeratore delle due vecchie frazioni, così come il denominatore.
Nel nostro esempio, moltiplicheremo 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 e 15 × 29 = 435. Quindi, la nuova frazione semplice è 770/435.
Passaggio 4. Semplifica la nuova frazione trovando il massimo comun divisore
Abbiamo già una frazione semplice, quindi tutto ciò che dobbiamo fare è trovare il numero più semplice. Trova il massimo comun divisore (GCF) del numeratore e del denominatore e dividi entrambi per questo numero per semplificarlo.
Uno dei fattori comuni di 770 e 435 è 5. Quindi, se dividiamo numeratore e denominatore della frazione per 5, otteniamo 154/87. 154 e 87 non hanno fattori comuni, quindi questa è la risposta finale!
Metodo 2 di 2: Semplificazione di frazioni complesse contenenti numeri variabili
Passaggio 1. Se possibile, utilizzare il metodo di moltiplicazione inverso sopra
Per essere chiari, quasi tutte le frazioni complesse possono essere semplificate sottraendo numeratore e denominatore per una singola frazione e moltiplicando il numeratore per il reciproco del denominatore. Sono incluse anche le frazioni complesse contenenti variabili, sebbene più complessa sia l'espressione delle variabili in frazioni complesse, più difficile e dispendioso in termini di tempo sarà utilizzare la moltiplicazione inversa. Per le frazioni complesse "facili" contenenti variabili, la moltiplicazione inversa è una buona scelta, ma le frazioni complesse con più numeri variabili nel numeratore e denominatore possono essere semplificate più facilmente nel modo alternativo descritto di seguito.
- Ad esempio, (1/x)/(x/6) è facile da semplificare per moltiplicazione inversa. 1/x × 6/x = 6/x2. Non è necessario utilizzare metodi alternativi qui.
- Tuttavia, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) è più difficile da semplificare per moltiplicazione inversa. Ridurre il numeratore e il denominatore di frazioni complesse a singole frazioni, moltiplicare inversamente e ridurre il risultato ai numeri più semplici può essere un processo complicato. In questo caso, il metodo alternativo di seguito potrebbe essere più semplice.
Passaggio 2. Se la moltiplicazione inversa non è pratica, inizia trovando il LCM del numero frazionario nella frazione complessa
Il primo passo è trovare il LCM di tutti i numeri frazionari in una frazione complessa, sia al numeratore che al denominatore. Di solito, se uno o più numeri frazionari hanno un numero al denominatore, LCM è il numero al denominatore.
Questo è più facile da capire con un esempio. Proviamo a semplificare le frazioni complesse sopra menzionate, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). I numeri frazionari in questa frazione complessa sono (1)/(x+3) e (1)/(x-5). Il LCM delle due frazioni è il numero al denominatore: (x+3)(x-5).
Passaggio 3. Moltiplicare il numeratore della frazione complessa per il LCM appena trovato
Successivamente, dobbiamo moltiplicare il numero nella frazione complessa per il LCM del numero frazionario. In altre parole, moltiplicheremo tutte le frazioni complesse per (KPK)/(KPK). Possiamo farlo indipendentemente perché (KPK)/(KPK) è uguale a 1. Innanzitutto, moltiplica i numeratori stessi.
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Nel nostro esempio, moltiplicheremo la frazione complessa, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), ovvero ((x+ 3)(x-5))/((x+3)(x-5)). Dobbiamo moltiplicare per numeratore e denominatore della frazione complessa, moltiplicando ogni numero per (x + 3) (x-5).
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Innanzitutto, moltiplichiamo i numeratori: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
- = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
- = (x-5) + (x(x.)2 - 2x - 15)) - (10(x2 - 2x - 15))
- = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150)
- = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150
- = X3 - 12x2 +6x +145
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Passaggio 4. Moltiplica il denominatore della frazione complessa per l'LCM come faresti con il numeratore
Continua a moltiplicare la frazione complessa per il LCM trovato procedendo al denominatore. Moltiplica tutto, moltiplica ogni numero per l'LCM.
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Il denominatore della nostra frazione complessa, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), è x +4 +((1) //(x-5)). Lo moltiplicheremo per il LCM trovato, (x+3)(x-5).
- (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
- = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
- = x(x2 - 2x - 15) + 4(x2 - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
- = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x+3)
- = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x+3)
- = X3 + 2x2 - 22x - 57
Passaggio 5. Crea una nuova frazione semplificata dal numeratore e dal denominatore appena trovati
Dopo aver moltiplicato la frazione per (KPK)/(KPK) e averla semplificata combinando i numeri, il risultato è una frazione semplice che non contiene un numero frazionario. Nota che moltiplicando per LCM del numero frazionario nella frazione complessa originale, il denominatore di questa frazione sarà esaurito e lascerà il numero variabile e il numero intero nel numeratore e denominatore della risposta, senza alcuna frazione.
Con il numeratore e il denominatore trovati sopra, possiamo costruire una frazione uguale alla frazione complessa originale, ma non contiene il numero frazionario. Il numeratore ottenuto è x3 - 12x2 + 6x + 145 e il denominatore che abbiamo ottenuto era x3 + 2x2 - 22x - 57, quindi la nuova frazione diventa (X3 - 12x2 + 6x + 145)/(x3 + 2x2 - 22x - 57)
Suggerimenti
- Mostra ogni fase del lavoro. Le frazioni possono essere fonte di confusione se i passaggi contano troppo velocemente o se si cerca di farlo a memoria.
- Trova esempi di frazioni complesse su Internet o nei libri. Segui ogni passaggio fino a quando non può essere padroneggiato.
