Come semplificare le equazioni matematiche: 13 passaggi

2024 Autore: Jason Gerald | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-15 08:17

Agli studenti di matematica viene spesso chiesto di scrivere le loro risposte nella loro forma più semplice, in altre parole, di scrivere le risposte nel modo più elegante possibile. Sebbene lunghe, rigide e corte, oltre che eleganti, le equazioni siano tecnicamente la stessa cosa, spesso un problema di matematica non è considerato completo se la risposta finale non è ridotta alla sua forma più semplice. Inoltre, la risposta nella sua forma più semplice è quasi sempre l'equazione più semplice con cui lavorare. Per questo motivo, imparare a semplificare le equazioni è un'abilità importante per i matematici.

Fare un passo

Metodo 1 di 2: utilizzo della sequenza di operazioni

Passaggio 1. Conoscere l'ordine delle operazioni

Quando si semplificano le espressioni matematiche, non si può semplicemente lavorare da sinistra a destra, moltiplicando, sommando, sottraendo e così via in ordine da sinistra a destra. Alcune operazioni matematiche devono avere la precedenza su altre ed essere eseguite per prime. Infatti, usare l'ordine sbagliato delle operazioni può dare la risposta sbagliata. L'ordine delle operazioni è: la parte tra parentesi, l'esponente, la moltiplicazione, la divisione, l'addizione e infine la sottrazione. Un acronimo che puoi usare per ricordare è Perché la madre non è buona, cattiva e povera.

Si noti che, mentre una conoscenza di base dell'ordine delle operazioni può semplificare le equazioni più elementari, sono necessarie tecniche speciali per semplificare molte equazioni variabili, inclusi quasi tutti i polinomi. Vedere il secondo metodo seguente per ulteriori informazioni

Passaggio 2. Inizia completando tutte le sezioni tra parentesi

In matematica, le parentesi indicano che la parte interna deve essere calcolata separatamente dall'espressione che è al di fuori delle parentesi. Indipendentemente dalle operazioni tra parentesi, assicurati di completare prima la parte all'interno delle parentesi quando cerchi di semplificare un'equazione. Ad esempio, tra parentesi, è necessario moltiplicare prima di aggiungere, sottrarre e così via.

• Ad esempio, proviamo a semplificare l'equazione 2x + 4(5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). In questa equazione, dobbiamo prima risolvere la parte all'interno delle parentesi, vale a dire 5 + 2 e 3 + 4/2. 5 + 2 =

  Passaggio 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Passaggio 5

  La parte nella seconda parentesi viene semplificata a 5 perché, secondo l'ordine delle operazioni, dividiamo prima 4/2 nelle parentesi. Se lavoriamo da sinistra a destra, prima aggiungiamo 3 e 4, poi dividiamo per 2, dando la risposta sbagliata 7/2

• Nota: se ci sono più parentesi tra parentesi, completa la sezione nella parentesi più interna, poi la seconda più interna e così via.

Passaggio 3. Risolvi l'esponente

Dopo aver completato le parentesi, risolvi l'esponente della tua equazione. Questo è facile da ricordare perché negli esponenti, il numero di base e la potenza alla potenza sono uno accanto all'altro. Trova la risposta a ciascuna parte dell'esponente, quindi inserisci la tua risposta nell'equazione per sostituire la parte dell'esponente.

Dopo aver completato la parte tra parentesi, la nostra equazione di esempio ora diventa 2x + 4(7) + 3² - 5. L'unico esponenziale nel nostro esempio è 3², che è uguale a 9. Aggiungi questo risultato alla tua equazione per sostituire 3² risultando in 2x + 4(7) + 9 - 5.

Passaggio 4. Risolvi il problema di moltiplicazione nella tua equazione

Quindi, fai qualsiasi moltiplicazione necessaria nella tua equazione. Ricorda che la moltiplicazione può essere scritta in diversi modi. Il simbolo del punto ×, o asterisco, è un modo per mostrare la moltiplicazione. Tuttavia, anche un numero vicino alle parentesi o una variabile (come 4(x)) rappresenta una moltiplicazione.

• Ci sono due parti da moltiplicare nel nostro problema: 2x (2x è 2 × x) e 4(7). Non conosciamo il valore di x, quindi lo lasciamo a 2x. 4(7) = 4 × 7 =

  Passaggio 28.. Possiamo riscrivere la nostra equazione in 2x + 28 + 9 - 5.

Passaggio 5. Procedere alla divisione

Quando cerchi problemi di divisione nelle tue equazioni, tieni presente che, come la moltiplicazione, la divisione può essere scritta in diversi modi. Uno di questi è il simbolo, ma tieni presente che barre e trattini come nelle frazioni (es. 3/4) indicano anche una divisione.

Perché abbiamo già fatto la divisione (4/2) quando abbiamo finito le parti tra parentesi. Il nostro esempio non ha già un problema di divisione, quindi salteremo questo passaggio. Questo mostra un punto importante: non è necessario eseguire tutte le operazioni quando si semplifica un'espressione, solo le operazioni contenute nel problema

Passaggio 6. Quindi, aggiungi tutto ciò che è nella tua equazione

Puoi lavorare da sinistra a destra, ma è più facile sommare prima i numeri facili da aggiungere. Ad esempio, nel problema 49 + 29 + 51 + 71, è più facile aggiungere 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 e 100 + 100 = 200, che 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 e 129 + 71 = 200.

La nostra equazione di esempio è stata parzialmente semplificata a 2x + 28 + 9 – 5. Ora, dobbiamo sommare i numeri che possiamo sommare: diamo un'occhiata a ciascun problema di addizione da sinistra a destra. Non possiamo aggiungere 2x e 28 perché non conosciamo il valore di x, quindi lo salteremo. 28 + 9 = 37, può essere riscritto come 2x + 37 - 5.

Passaggio 7. L'ultimo passaggio della sequenza di operazioni è la sottrazione

Continua il tuo problema risolvendo i restanti problemi di sottrazione. Potresti essere in grado di pensare alla sottrazione come all'aggiunta di numeri negativi in questo passaggio o utilizzando gli stessi passaggi di un normale problema di addizione: la tua scelta non influirà sulla tua risposta.

• Nel nostro problema, 2x + 37 - 5, c'è solo un problema di sottrazione. 37 – 5 =

  Passaggio 32.

Passaggio 8. Controlla la tua equazione

Dopo aver risolto utilizzando l'ordine delle operazioni, l'equazione dovrebbe essere semplificata nella sua forma più semplice. Tuttavia, se la tua equazione contiene una o più variabili, tieni presente che non è necessario lavorare sulle tue variabili. Per semplificare una variabile, devi trovare il valore della tua variabile o utilizzare tecniche speciali per semplificare l'espressione (vedi il passaggio sotto).

La nostra risposta finale è 2x + 32. Non possiamo risolvere questa addizione finale a meno che non conosciamo il valore di x, ma se conoscessimo il suo valore, questa equazione sarebbe molto più facile da risolvere rispetto alla nostra lunga equazione originale

Metodo 2 di 2: Semplificazione di equazioni complesse

Passaggio 1. Somma le parti che hanno la stessa variabile

Quando risolvi equazioni variabili, ricorda che le parti che hanno la stessa variabile ed esponente (o la stessa variabile) possono essere aggiunte e sottratte come numeri normali. Questa parte deve avere la stessa variabile ed esponente. Ad esempio, è possibile aggiungere 7x e 5x, ma 7x e 5x² non si possono sommare.

• Questa regola si applica anche ad alcune variabili. Ad esempio, 2xy² può essere sommato per -3xy², ma non può essere sommato per -3x²y o -3y².
• Vedi equazione x² + 3x + 6 - 8x. In questa equazione, possiamo aggiungere 3x e -8x perché hanno la stessa variabile ed esponente. La semplice equazione diventa x² - 5x + 6.

Passaggio 2. Semplifica i numeri frazionari dividendo o cancellando i fattori

Le frazioni che hanno solo numeri (e nessuna variabile) al numeratore e al denominatore possono essere semplificate in diversi modi. Il primo, e forse il più semplice, è pensare alla frazione come un problema di divisione e dividere il denominatore per il numeratore. Inoltre, qualsiasi fattore di moltiplicazione che appare nel numeratore e nel denominatore può essere cancellato perché dividendo i due fattori si ottiene il numero 1.

Ad esempio, guarda la frazione 36/60. Se abbiamo una calcolatrice, possiamo dividerla per ottenere la risposta 0, 6. Tuttavia, se non abbiamo una calcolatrice, possiamo comunque semplificarla cancellando gli stessi fattori. Un altro modo di immaginare 36/60 è (6 × 6)/(6 × 10). Questa frazione può essere scritta come 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, quindi la nostra frazione è in realtà 1 × 6/10 = 6/10. Tuttavia, non abbiamo ancora finito: sia 6 che 10 hanno lo stesso fattore, che è 2. Ripetendo il metodo sopra, il risultato diventa 3/5.

Passaggio 3. Sulla frazione variabile, cancella tutti i fattori della variabile

Le equazioni variabili in forma di frazione hanno un modo unico di semplificare. Come le frazioni ordinarie, le frazioni variabili consentono di eliminare fattori che hanno in comune sia il numeratore che il denominatore. Tuttavia, nelle frazioni variabili, questi fattori possono essere numeri ed equazioni della variabile effettiva.

• Diciamo l'equazione (3x² + 3x)/(-3x² + 15x) Questa frazione può essere scritta come (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x), 3x appare sia al numeratore che al denominatore. Eliminando questi fattori dall'equazione, il risultato diventa (x + 1)/(5 - x). Come nell'espressione (2x² + 4x + 6)/2, poiché ogni parte è divisibile per 2, possiamo scrivere l'equazione come (2(x² + 2x + 3))/2 e poi semplificare in x² + 2x + 3.
• Nota che non puoi cancellare tutte le sezioni: puoi solo cancellare i fattori di moltiplicazione che appaiono nel numeratore e nel denominatore. Ad esempio, nell'espressione (x(x + 2))/x, x può essere cancellato sia dal numeratore che dal denominatore, in modo che diventi (x + 2)/1 = (x + 2). Tuttavia, (x + 2)/x non può essere barrato in 2/1 = 2.

Passaggio 4. Moltiplicare la parte tra parentesi per la costante

Quando si moltiplica la parte che ha la variabile tra parentesi per una costante, a volte moltiplicando ogni parte tra parentesi per una costante può risultare un'equazione più semplice. Questo vale per le costanti che consistono solo di numeri e le costanti che hanno variabili.

• Ad esempio, l'equazione 3(x² + 8) può essere semplificato a 3x² + 24, mentre 3x(x² + 8) può essere semplificato a 3x³ + 24x.
• Nota che, in alcuni casi, come le frazioni variabili, le costanti intorno alle parentesi possono essere cancellate in modo che non debbano essere moltiplicate per la parte tra parentesi. In frazioni (3(x² + 8))/3x, ad esempio, il fattore 3 compare sia al numeratore che al denominatore, quindi possiamo cancellarlo e semplificare l'espressione in (x² + 8)/x. Questa espressione è più semplice e facile da usare rispetto a (3x³ + 24x)/3x, che è il risultato che otterremo se lo moltiplichiamo.

Passaggio 5. Semplificare con il factoring

Il factoring è una tecnica che può essere utilizzata per semplificare alcune espressioni di variabili, inclusi i polinomi. Pensa alla fattorizzazione come l'opposto della moltiplicazione per la parte tra parentesi nel passaggio precedente: a volte, un'espressione può essere pensata come due parti che vengono moltiplicate l'una per l'altra, piuttosto che un'espressione unitaria. Ciò è particolarmente vero se la fattorizzazione di un'equazione consente di cancellare una delle sue parti (come nelle frazioni). In alcuni casi (spesso con equazioni quadratiche), la scomposizione in fattori può persino consentire di trovare la soluzione dell'equazione.

• Assumiamo ancora l'espressione x² - 5x + 6. Questa espressione può essere scomposta in (x - 3)(x - 2). Quindi, se x² - 5x + 6 è il numeratore di una data equazione dove il denominatore ha uno di questi fattori, come nell'espressione (x² - 5x + 6)/(2(x - 2)), potremmo scriverlo sotto forma di fattore in modo da poter cancellare il fattore con il denominatore. In altre parole, in (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), la parte (x - 2) può essere barrata per essere (x - 3)/2.

• Come sottolineato sopra, un altro motivo per cui potresti voler fattorizzare le tue equazioni è che la fattorizzazione può darti risposte a determinate equazioni, specialmente se sono scritte come uguali a 0. Ad esempio, l'equazione x² - 5x + 6 = 0. La fattorizzazione dà (x - 3)(x - 2) = 0. Poiché qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero, sappiamo che se una qualsiasi parte delle parentesi è uguale a zero, tutta l'equazione a sinistra di anche il segno di uguale è zero. Affinché

  Passaggio 3. da

  Passo 2. sono le due risposte all'equazione.