Il completamento dei quadrati è una tecnica utile per aiutarti a mettere le equazioni quadratiche in una forma ordinata, che le rende facili da vedere o addirittura da risolvere. Puoi completare i quadrati per costruire formule quadratiche più complesse o persino risolvere equazioni quadratiche. Se vuoi sapere come farlo, segui questi passaggi.
Fare un passo
Parte 1 di 2: Conversione di equazioni ordinarie in funzioni quadratiche
Passaggio 1. Annotare l'equazione
Supponiamo di voler risolvere la seguente equazione: 3x2 - 4x + 5.
Passaggio 2. Estrarre i coefficienti delle variabili quadratiche dalle prime due parti
Per ottenere il numero 3 dalle prime due parti, basta togliere il numero 3 e metterlo fuori dalle parentesi, dividendo ogni parte per 3. 3x2 diviso per 3 è x2 e 4x diviso 3 fa 4/3x. Quindi, la nuova equazione diventa: 3(x2 - 4/3x) + 5. Il numero 5 rimane fuori dall'equazione perché non è diviso per il numero 3.
Passaggio 3. Dividi la seconda parte per 2 e quadrala
La seconda parte o ciò che è noto come b nell'equazione è 4/3. Dividi per due. 4/3 2, o 4/3 x 1/2, è uguale a 2/3. Ora, quadra questa sezione elevando al quadrato numeratore e denominatore della frazione. (2/3)2 = 4/9. Scrivilo.
Passaggio 4. Aggiungi e sottrai queste parti dall'equazione
Avrai bisogno di questa parte in più per riportare l'equazione a un quadrato perfetto. Tuttavia, devi sottrarli dal resto dell'equazione per sommarli. Anche se sembra che tu stia tornando alla tua equazione originale. La tua equazione è simile a questa: 3(x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Passaggio 5. Rimuovere la parte sottratta dalle parentesi
Dato che hai un coefficiente di 3 fuori dalle parentesi, non puoi semplicemente restituire -4/9. Devi prima moltiplicarlo per 3. -4/9 x 3 = -12/9 o -4/3. Se hai un coefficiente di 1 nella sezione x.2, quindi puoi saltare questo passaggio.
Passaggio 6. Cambia la parte tra parentesi in un quadrato perfetto
Ora, ci sono 3(x2 -4/3x +4/9) tra parentesi. Hai già provato a ottenere 4/9, che in realtà è un altro modo per completare il quadrato. Quindi puoi riscriverlo come: 3(x - 2/3)2. Tutto quello che devi fare è dividere la seconda metà ed eliminare la terza. Puoi controllare il tuo lavoro moltiplicandolo e ottenendo le prime tre parti dell'equazione.
-
3(x - 2/3)2 =
Completa il quadrato Step 6Bullet1 - 3(x - 2/3)(x -2/3) =
- 3[(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3(x2 - 4/3x + 4/9)
Passaggio 7. Combina le costanti
Ora ci sono due costanti o numeri che non hanno variabili. Ora hai 3(x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Tutto quello che devi fare è sommare -4/3 e 5 per ottenere 11/3. Li aggiungi eguagliando i denominatori: -4/3 e 15/3, quindi sommando i numeri in modo da ottenere 11 e lasciare il denominatore 3.
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-4/3 + 15/3 = 11/3.
Completa il quadrato Step 7Bullet1
Passaggio 8. Scrivi l'equazione in forma quadratica
Hai fatto. L'equazione finale è 3(x - 2/3)2 +11/3. Puoi eliminare il coefficiente di 3 dividendo entrambi i lati dell'equazione per ottenere (x - 2/3)2 +11/9. Hai scritto con successo l'equazione in forma quadratica, vale a dire a(x - h)2 +k, dove k rappresenta una costante.
Parte 2 di 2: risoluzione di equazioni quadratiche
Passaggio 1. Annota le domande
Supponiamo di voler risolvere la seguente equazione: 3x2 + 4x + 5 = 6
Passaggio 2. Combina le costanti esistenti e posizionale sul lato sinistro dell'equazione
Una costante è qualsiasi numero che non ha una variabile. In questo problema, la costante è 5 a sinistra e 6 a destra. Se vuoi spostare 6 a sinistra, devi sottrarre entrambi i lati dell'equazione per 6. Il resto è 0 a destra (6-6) e -1 a sinistra (5-6). L'equazione diventa: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Passaggio 3. Emettere il coefficiente della variabile quadratica
In questo problema, 3 è il coefficiente di x2. Per ottenere il numero 3, elimina il numero 3 e dividi ogni parte per 3. Quindi, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x e 1 3 = 1/3. L'equazione diventa: 3(x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Passaggio 4. Dividi per la costante appena estratta
Ciò significa che puoi rimuovere il coefficiente 3. Poiché hai già diviso ogni parte per 3, puoi rimuovere il numero 3 senza modificare l'equazione. La tua equazione diventa x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Passaggio 5. Dividi la seconda parte per 2 e quadrala
Quindi, prendi la seconda parte, 4/3, o parte b, e dividila per 2. 4/3 2 o 4/3 x 1/2, uguale a 4/6 o 2/3. E 2/3 al quadrato per 4/9. Una volta che l'hai squadrata, dovrai scriverla sui lati sinistro e destro dell'equazione perché stai aggiungendo una nuova parte. Devi scriverlo su entrambi i lati per bilanciarlo. L'equazione diventa x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Passaggio 6. Sposta la costante iniziale sul lato destro dell'equazione e aggiungila al quadrato del tuo numero
Sposta la costante iniziale, -1/3, a destra, rendendola 1/3. Aggiungi il quadrato del tuo numero, 4/9 o 2/32. Trova un denominatore comune per aggiungere 1/3 e 4/9 moltiplicando le frazioni superiore e inferiore di 1/3 per 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Ora aggiungi 3/9 e 4/9 per ottenere 7/9 sul lato destro dell'equazione. L'equazione diventa: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 quindi x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Passaggio 7. Annota il lato sinistro dell'equazione come un quadrato perfetto
Poiché hai già utilizzato la formula per trovare il pezzo mancante, la parte difficile è stata saltata. Tutto quello che devi fare è mettere x e metà del valore del secondo coefficiente tra parentesi e quadrarlo, ad esempio: (x + 2/3)2. Nota che la fattorizzazione di un quadrato perfetto produrrà tre parti: x2 + 4/3 x + 4/9. L'equazione diventa: (x + 2/3)2 = 7/9.
Passaggio 8. Radice quadrata di entrambi i lati
A sinistra dell'equazione, la radice quadrata di (x + 2/3)2 è x + 2/3. Sul lato destro dell'equazione, otterrai +/- (√7)/3. La radice quadrata del denominatore, 9, è 3 e la radice quadrata di 7 è 7. Ricorda di scrivere +/- perché la radice quadrata può essere positiva o negativa.
Passaggio 9. Spostare le variabili
Per spostare la variabile x, basta spostare la costante 2/3 sul lato destro dell'equazione. Ora hai due possibili risposte per x: +/- (√7)/3 - 2/3. Queste sono le tue due risposte. Puoi lasciar perdere o trovare il valore della radice quadrata di 7 se devi scrivere una risposta senza radice quadrata.
Suggerimenti
- Assicurati di scrivere +/- nel posto appropriato, altrimenti otterrai solo una risposta.
- Anche dopo aver conosciuto la formula quadratica, esercitati a completare il quadrato regolarmente dimostrando la formula quadratica o risolvendo alcuni problemi. In questo modo, non dimenticherai il metodo quando ne avrai bisogno.
