Il determinante delle matrici è spesso usato nel calcolo, nell'algebra lineare e nella geometria a un livello superiore. Al di fuori del mondo accademico, gli ingegneri e i programmatori di computer grafica usano sempre le matrici e le loro determinanti. Se sai già come determinare il determinante di una matrice dell'ordine di 2x2, devi solo imparare quando usare addizioni, sottrazioni e tempi per determinare il determinante di una matrice di ordine 3x3.
Fare un passo
Parte 1 di 2: Determinazione dei determinanti
Scrivi la tua matrice d'ordine 3 x 3. Inizieremo con una matrice A di ordine 3x3 e proveremo a trovare il determinante |A|. Di seguito è riportata la forma generale di notazione matriciale che utilizzeremo e un esempio della nostra matrice:
| un11 | un12 | un13 | 1 | 5 | 3 | |||
| m | = | un21 | un22 | un23 | = | 2 | 4 | 7 |
| un31 | un32 | un33 | 4 | 6 | 2 |
Passaggio 1. Seleziona una riga o una colonna
Fai la tua selezione come riga o colonna di riferimento. Qualunque sia la tua scelta, otterrai comunque la stessa risposta. Seleziona temporaneamente la prima riga. Ti forniremo alcuni suggerimenti per scegliere l'opzione più semplice da calcolare nella sezione successiva.
Seleziona la prima riga della matrice di esempio A. Cerchia il numero 1 5 3. In notazione comune, cerchia a11 un12 un13.
Passaggio 2. Cancella la riga e la colonna del tuo primo elemento
Guarda la riga o la colonna che hai cerchiato e seleziona il primo elemento. Cancella le righe e le colonne. Rimarranno invariati solo 4 numeri. Rendi questi 4 numeri una matrice di ordine 2 x 2.
- Nel nostro esempio, la nostra riga di riferimento è 1 5 3. Il primo elemento si trova nella prima riga e nella prima colonna. Cancella l'intera prima riga e la prima colonna. Scrivi gli elementi rimanenti in una matrice 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Passaggio 3. Determinare il determinante della matrice di ordine 2 x 2
Ricorda, determina il determinante della matrice [unC BD] di annuncio - bc. Potresti anche aver imparato a determinare il determinante di una matrice disegnando una X tra una matrice 2 x 2. Moltiplica i due numeri collegati dalla linea / di X. Quindi, sottrai il numero di volte in cui i due numeri collegati dalla linea / sono. Usa questa formula per calcolare il determinante di una matrice 2 x 2.
- Nell'esempio, il determinante della matrice [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Questo determinante si chiama minore degli elementi selezionati nella matrice iniziale. In questo caso, abbiamo appena trovato il minore di a11.
Passaggio 4. Moltiplica il numero trovato per l'elemento selezionato
Ricorda, hai selezionato gli elementi dalla riga (o colonna) di riferimento quando hai deciso quali righe e colonne eliminare. Moltiplica questo elemento per il determinante della matrice 2 x 2 che hai trovato.
Nell'esempio, scegliamo a11 che è 1. Moltiplica questo numero per -34 (il determinante della matrice 2 x 2) per ottenere 1*-34 = - 34.
Passaggio 5. Determina il simbolo della tua risposta
Il prossimo passo è che devi moltiplicare la tua risposta per 1 o -1 per ottenere cofattore dell'elemento selezionato. Il simbolo che usi dipende da dove si trovano gli elementi nella matrice 3 x 3. Ricorda, questa tabella dei simboli viene utilizzata per determinare il moltiplicatore del tuo elemento:
- + - +
- - + -
- + - +
- Perché scegliamo un11 che è contrassegnato con un +, moltiplicheremo il numero per +1 (o in altre parole, non lo cambieremo). La risposta che apparirà sarà la stessa, vale a dire - 34.
- Un altro modo per definire un simbolo è usare la formula (-1) i+j dove i e j sono elementi di riga e colonna.
Passaggio 6. Ripetere questo processo per il secondo elemento nella riga o colonna di riferimento
Torna alla matrice 3 x 3 originale in cui hai cerchiato la riga o la colonna in precedenza. Ripeti lo stesso processo con l'elemento:
-
Cancella la riga e la colonna dell'elemento.
In questo caso, selezionare l'elemento a12 (che vale 5). Cancella la prima riga (1 5 3) e la seconda colonna (5 4 6).
-
Trasforma gli elementi rimanenti in una matrice 2x2.
Nel nostro esempio, la matrice di ordine 2x2 per il secondo elemento è [24 72].
-
Determinare il determinante di questa matrice 2x2.
Usa la formula ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Moltiplica per gli elementi della matrice 3x3 che hai scelto.
-24 * 5 = -120
-
Decidi se moltiplicare il risultato precedente per -1 o meno.
Usa una tabella di simboli o formule (-1)ij. Seleziona elemento a12 simbolizzato – nella tabella dei simboli. Sostituisci il nostro simbolo di risposta con: (-1)*(-120) = 120.
Passaggio 7. Ripeti lo stesso processo per il terzo elemento
Hai un altro cofattore per determinare il determinante. Conta i per il terzo elemento nella riga o colonna di riferimento. Ecco un modo rapido per calcolare il cofattore a13 nel nostro esempio:
- Cancella la prima riga e la terza colonna per ottenere [24 46].
- Il determinante è 2*6 - 4*4 = -4.
- Moltiplicare per elemento a13: -4 * 3 = -12.
- elemento a13 simbolo + nella tabella dei simboli, quindi la risposta è - 12.
Passaggio 8. Somma i risultati dei tuoi tre conteggi
Questo è l'ultimo passo. Hai calcolato tre cofattori, uno per ogni elemento di una riga o colonna. Somma i risultati e troverai il determinante di una matrice 3 x 3.
Nell'esempio, il determinante della matrice è - 34 + 120 + - 12 = 74.
Parte 2 di 2: semplificare la risoluzione dei problemi
Passaggio 1. Selezionare la riga o la colonna di riferimenti con il maggior numero di 0
Ricorda, puoi selezionare qualsiasi riga o colonna che desideri. Qualunque sia la tua scelta, la risposta sarà la stessa. Se selezioni una riga o una colonna con il numero 0, devi solo calcolare il cofattore con elementi diversi da 0 perché:
- Ad esempio, seleziona la seconda riga che ha l'elemento a21, un22, finanziare23. Per risolvere questo problema utilizzeremo 3 diverse matrici 2 x 2, diciamo A21, UN22, Voi23.
- Il determinante della matrice 3x3 è a21|A21| - un22|A22| + a23|A23|.
- Se un22 finanziare23 valore 0, la formula esistente sarà a21|A21| - 0*|LA22| + 0*|LA23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|. Pertanto, calcoleremo solo il cofattore di un solo elemento.
Passaggio 2. Utilizzare righe aggiuntive per semplificare i problemi con la matrice
Se prendi i valori da una riga e li aggiungi a un'altra riga, il determinante della matrice non cambierà. Lo stesso vale per le colonne. Puoi farlo ripetutamente o moltiplicare per una costante prima di aggiungerla per ottenere il maggior numero possibile di 0 nella matrice. Questo può far risparmiare molto tempo.
- Ad esempio, hai una matrice con 3 righe: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Per eliminare il numero 9 che è in posizione a11, puoi moltiplicare il valore nella 2a riga per -3 e aggiungere il risultato alla prima riga. Ora, la nuova prima riga è [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- La nuova matrice ha righe [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Usa lo stesso trucco sulle colonne per fare un12 essere il numero 0.
Passaggio 3. Utilizzare il metodo rapido per le matrici triangolari
In questo caso particolare, il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale, di a11 in alto a sinistra per a33 in basso a destra della matrice. Questa matrice è ancora una matrice 3x3, ma la matrice "triangolo" ha uno schema speciale di numeri che non sono 0:
- Matrice triangolare superiore: tutti gli elementi diversi da 0 si trovano sopra o sopra la diagonale principale. Tutti i numeri sotto la diagonale principale sono 0.
- Matrice triangolare inferiore: tutti gli elementi che non sono 0 sono sopra o sotto la diagonale principale.
- Matrice diagonale: tutti gli elementi che non sono 0 si trovano sulla diagonale principale (il sottoinsieme dei suddetti tipi di matrici).
Suggerimenti
- Se tutti gli elementi di una riga o colonna sono 0, il determinante della matrice è 0.
- Questo metodo può essere utilizzato per tutte le dimensioni di matrici quadratiche. Ad esempio, se usi questo metodo per una matrice di ordine 4x4, il tuo "colpo" lascerà una matrice di ordine 3x3 il cui determinante può essere determinato seguendo i passaggi precedenti. Ricorda, farlo può essere noioso!
